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Theorem iundisj2 19481
Description: A disjoint union is disjoint. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
iundisj.1  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisj2  |- Disj  n  e.  NN ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )
Distinct variable groups:    k, n    A, k    B, n
Allowed substitution hints:    A( n)    B( k)

Proof of Theorem iundisj2
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1331 . . . 4  |-  T.
2 eqeq12 2455 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
3 csbeq1 3273 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
4 csbeq1 3273 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
53, 4ineqan12d 3533 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
65eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
72, 6orbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
8 eqeq12 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
y  =  x ) )
9 equcom 1695 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
108, 9syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
11 csbeq1 3273 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
12 csbeq1 3273 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1311, 12ineqan12d 3533 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
14 incom 3522 . . . . . . . 8  |-  ( [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1513, 14syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
1615eqeq1d 2451 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
1710, 16orbi12d 692 . . . . 5  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
18 nnssre 10042 . . . . . 6  |-  NN  C_  RR
1918a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  NN  C_  RR )
20 biidd 230 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
21 nesym 2647 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  =  y )
22 nnre 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
23 nnre 10045 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
24 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  y  ->  x  <_  y )
25 leltne 9202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  <->  y  =/=  x ) )
2622, 23, 24, 25syl3an 1227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  <->  y  =/=  x ) )
27 vex 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
28 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ x  /  n ]_ A
29 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ x ) B
3028, 29nfdif 3457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
31 csbeq1a 3278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  A  =  [_ x  /  n ]_ A )
32 oveq2 6125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  x  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ x ) )
3332iuneq1d 4146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
3431, 33difeq12d 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B ) )
3527, 30, 34csbief 3294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ x  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
36 vex 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
37 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ y  /  n ]_ A
38 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ y ) B
3937, 38nfdif 3457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
40 csbeq1a 3278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  A  =  [_ y  /  n ]_ A )
41 oveq2 6125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ y ) )
4241iuneq1d 4146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
4340, 42difeq12d 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )
4436, 39, 43csbief 3294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ y  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
4535, 44ineq12i 3529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )
46 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  e.  NN )
47 nnuz 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4846, 47syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
49 simp2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  y  e.  NN )
5049nnzd 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  y  e.  ZZ )
51 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
52 elfzo2 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  y  e.  ZZ  /\  x  <  y ) )
5348, 50, 51, 52syl3anbrc 1139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( 1..^ y ) )
54 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
k
55 nfcv 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n B
56 iundisj.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
5754, 55, 56csbhypf 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
5857equcoms 1696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
5958eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  n ]_ A )
6059ssiun2s 4165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
6153, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
6261ssdifssd 3474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
63 ssrin 3554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  ->  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  (
( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
6545, 64syl5eqss 3381 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) ) )
66 disjdif 3728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  =  (/)
67 sseq0 3647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  /\  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  =  (/) )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
6865, 66, 67sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
69683expia 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
70693adant3 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  ->  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7126, 70sylbird 228 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
y  =/=  x  -> 
( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7221, 71syl5bir 211 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7372orrd 369 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7473adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_ 
y ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
757, 17, 19, 20, 74wlogle 9598 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
761, 75mpan 653 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7776rgen2a 2779 . 2  |-  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
78 disjors 4229 . 2  |-  (Disj  n  e.  NN ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  <->  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7977, 78mpbir 202 1  |- Disj  n  e.  NN ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    T. wtru 1326    = wceq 1654    e. wcel 1728    =/= wne 2606   A.wral 2712   [_csb 3270    \ cdif 3306    i^i cin 3308    C_ wss 3309   (/)c0 3616   U_ciun 4122  Disj wdisj 4213   class class class wbr 4243   ` cfv 5489  (class class class)co 6117   RRcr 9027   1c1 9029    < clt 9158    <_ cle 9159   NNcn 10038   ZZcz 10320   ZZ>=cuz 10526  ..^cfzo 11173
This theorem is referenced by:  iunmbl  19485  volsup  19488  voliunnfl  26290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-cnex 9084  ax-resscn 9085  ax-1cn 9086  ax-icn 9087  ax-addcl 9088  ax-addrcl 9089  ax-mulcl 9090  ax-mulrcl 9091  ax-mulcom 9092  ax-addass 9093  ax-mulass 9094  ax-distr 9095  ax-i2m1 9096  ax-1ne0 9097  ax-1rid 9098  ax-rnegex 9099  ax-rrecex 9100  ax-cnre 9101  ax-pre-lttri 9102  ax-pre-lttrn 9103  ax-pre-ltadd 9104  ax-pre-mulgt0 9105
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-disj 4214  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-1st 6385  df-2nd 6386  df-riota 6585  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-er 6941  df-en 7146  df-dom 7147  df-sdom 7148  df-pnf 9160  df-mnf 9161  df-xr 9162  df-ltxr 9163  df-le 9164  df-sub 9331  df-neg 9332  df-nn 10039  df-n0 10260  df-z 10321  df-uz 10527  df-fz 11082  df-fzo 11174
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