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Theorem iundisj2f 24018
Description: A disjoint union is disjoint. Cf. iundisj2 19431 (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iundisjf.1  |-  F/_ k A
iundisjf.2  |-  F/_ n B
iundisjf.3  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
iundisj2f  |- Disj  n  e.  NN ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )
Distinct variable group:    k, n
Allowed substitution hints:    A( k, n)    B( k, n)

Proof of Theorem iundisj2f
Dummy variables  a 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tru 1330 . . . 4  |-  T.
2 eqeq12 2447 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
3 csbeq1 3246 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
4 csbeq1 3246 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
53, 4ineqan12d 3536 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
65eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
72, 6orbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( a  =  x  /\  b  =  y )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
8 eqeq12 2447 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
y  =  x ) )
9 equcom 1692 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
108, 9syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( a  =  b  <-> 
x  =  y ) )
11 csbeq1 3246 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
12 csbeq1 3246 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1311, 12ineqan12d 3536 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
14 incom 3525 . . . . . . . 8  |-  ( [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )
1513, 14syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) ) )
1615eqeq1d 2443 . . . . . 6  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( [_ a  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/)  <->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
1710, 16orbi12d 691 . . . . 5  |-  ( ( a  =  y  /\  b  =  x )  ->  ( ( a  =  b  \/  ( [_ a  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ b  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
18 nnssre 9993 . . . . . 6  |-  NN  C_  RR
1918a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  NN  C_  RR )
20 biidd 229 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) 
<->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) ) )
21 necom 2679 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =/=  x  <->  x  =/=  y )
22 df-ne 2600 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
2321, 22bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  x  <->  -.  x  =  y )
24 nnre 9996 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
25 nnre 9996 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
26 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  <_  y  ->  x  <_  y )
27 leltne 9153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  <->  y  =/=  x ) )
2824, 25, 26, 27syl3an 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  <->  y  =/=  x ) )
29 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
30 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ x  /  n ]_ A
31 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( 1..^ x )
32 iundisjf.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n B
3331, 32nfiun 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ x ) B
3430, 33nfdif 3460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
35 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  A  =  [_ x  /  n ]_ A )
36 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  x  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ x ) )
3736iuneq1d 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  x  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
3835, 37difeq12d 3458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  x  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B ) )
3929, 34, 38csbief 3284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ x  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )
40 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
41 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n [_ y  /  n ]_ A
42 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( 1..^ y )
4342, 32nfiun 4111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n U_ k  e.  (
1..^ y ) B
4441, 43nfdif 3460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
45 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  A  =  [_ y  /  n ]_ A )
46 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  y  ->  (
1..^ n )  =  ( 1..^ y ) )
4746iuneq1d 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  y  ->  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B  =  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
4845, 47difeq12d 3458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  (
[_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )
4940, 44, 48csbief 3284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  =  ( [_ y  /  n ]_ A  \ 
U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
5039, 49ineq12i 3532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )
51 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  e.  NN )
52 nnuz 10510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5351, 52syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
54 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  y  e.  NN )
5554nnzd 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  y  e.  ZZ )
56 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  <  y )
57 elfzo2 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  y  e.  ZZ  /\  x  <  y ) )
5853, 55, 56, 57syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  x  e.  ( 1..^ y ) )
59 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
( 1..^ y )
60 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k
x
61 iundisjf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k A
6260, 61nfcsb 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ x  /  n ]_ A
63 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
k
64 iundisjf.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  A  =  B )
6563, 32, 64csbhypf 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  k  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
6665equcoms 1693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  x  ->  [_ x  /  n ]_ A  =  B )
6766eqcomd 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  n ]_ A )
6859, 60, 62, 67ssiun2sf 23998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 1..^ y )  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
6958, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  [_ x  /  n ]_ A  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
7069ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B )
71 ssrin 3558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
[_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  C_  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  ->  ( ( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  (
( [_ x  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ x ) B )  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) ) )
7350, 72syl5eqss 3384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) ) )
74 disjdif 3692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U_ k  e.  ( 1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  ( 1..^ y ) B ) )  =  (/)
75 sseq0 3651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  C_  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  /\  ( U_ k  e.  (
1..^ y ) B  i^i  ( [_ y  /  n ]_ A  \  U_ k  e.  (
1..^ y ) B ) )  =  (/) )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
7673, 74, 75sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <  y )  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
77763expia 1155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
78773adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
x  <  y  ->  (
[_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
7928, 78sylbird 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
y  =/=  x  -> 
( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8023, 79syl5bir 210 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  ( -.  x  =  y  ->  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8180orrd 368 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_  y )  ->  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8281adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN  /\  x  <_ 
y ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
837, 17, 19, 20, 82wlogle 9549 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
841, 83mpan 652 . . 3  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8584rgen2a 2764 . 2  |-  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  ( x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) )
86 disjors 4190 . 2  |-  (Disj  n  e.  NN ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  <->  A. x  e.  NN  A. y  e.  NN  (
x  =  y  \/  ( [_ x  /  n ]_ ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )  i^i  [_ y  /  n ]_ ( A 
\  U_ k  e.  ( 1..^ n ) B ) )  =  (/) ) )
8785, 86mpbir 201 1  |- Disj  n  e.  NN ( A  \  U_ k  e.  (
1..^ n ) B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725   F/_wnfc 2558    =/= wne 2598   A.wral 2697   [_csb 3243    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U_ciun 4085  Disj wdisj 4174   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   RRcr 8978   1c1 8980    < clt 9109    <_ cle 9110   NNcn 9989   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477  ..^cfzo 11123
This theorem is referenced by:  iundisj2cnt  24143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-fz 11033  df-fzo 11124
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