Theorem iunexg 3868

Description: The existence of an indexed union. x is normally a free-variable parameter in B.

Assertion

Ref	Expression
iunexg	|- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> U_x e. A B e. V)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem iunexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 2590	. . 3 |- (A.x e. A B e. D -> U_x e. A B = U.{y | E.x e. A y = B})
2	1	adantl 390	. 2 |- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> U_x e. A B = U.{y | E.x e. A y = B})
3		abrexexg 3867	. . . 4 |- (A e. C -> {y | E.x e. A y = B} e. V)
4		uniexg 2877	. . . 4 |- ({y | E.x e. A y = B} e. V -> U.{y | E.x e. A y = B} e. V)
5	3, 4	syl 10	. . 3 |- (A e. C -> U.{y | E.x e. A y = B} e. V)
6	5	adantr 391	. 2 |- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> U.{y | E.x e. A y = B} e. V)
7	2, 6	eqeltrd 1551	1 |- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> U_x e. A B e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814  U.cuni 2507  U_ciun 2570

This theorem is referenced by:  iunex 3869  ixpexg 4364

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain