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Theorem iunfi 7386
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This is the indexed union version of unifi 7387. Note that  B depends on  x, i.e. can be thought of as  B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iunfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunfi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2896 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  (/)  B  e.  Fin ) )
2 iuneq1 4098 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
3 0iun 4140 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
42, 3syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  (/) )
54eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin )
)
61, 5imbi12d 312 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  (/)  B  e.  Fin  -> 
(/)  e.  Fin )
) )
7 raleq 2896 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  y  B  e.  Fin ) )
8 iuneq1 4098 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
98eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
107, 9imbi12d 312 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) ) )
11 raleq 2896 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
12 iuneq1 4098 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1312eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
1411, 13imbi12d 312 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin ) 
<->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) ) )
15 raleq 2896 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  A  B  e.  Fin ) )
16 iuneq1 4098 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
1716eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
1815, 17imbi12d 312 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) ) )
19 0fin 7328 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2019a1i 11 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
Fin  ->  (/)  e.  Fin )
21 ssun1 3502 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
22 ssralv 3399 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  A. x  e.  y  B  e.  Fin ) )
2321, 22ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  A. x  e.  y  B  e.  Fin )
2423imim1i 56 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
25 iunxun 4164 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
26 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
27 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
28 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
2926, 27, 28cbviun 4120 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  { z } B  =  U_ y  e.  {
z } [_ y  /  x ]_ B
30 vex 2951 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
31 csbeq1 3246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
3230, 31iunxsn 4162 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  { z } [_ y  /  x ]_ B  =  [_ z  /  x ]_ B
3329, 32eqtri 2455 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
34 ssun2 3503 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
3530snid 3833 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
{ z }
3634, 35sselii 3337 . . . . . . . . . 10  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
37 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
3837nfel1 2581 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin
39 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
4039eleq1d 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin ) )
4138, 40rspc 3038 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
Fin ) )
4236, 41ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin )
4333, 42syl5eqel 2519 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )
44 unfi 7366 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
4543, 44sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
4625, 45syl5eqel 2519 . . . . . 6  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin )
4746expcom 425 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin ) )
4824, 47sylcom 27 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) )
4948a1i 11 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) ) )
506, 10, 14, 18, 20, 49findcard2 7340 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
5150imp 419 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   [_csb 3243    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   U_ciun 4085   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  unifi  7387  infssuni  7389  ixpfi  7396  ackbij1lem9  8100  ackbij1lem10  8101  fsum2dlem  12546  fsumcom2  12550  fsumiun  12592  hashiun  12593  ackbijnn  12599  ablfaclem3  15637  txcmplem2  17666  alexsubALTlem3  18072  aannenlem1  20237  fsumvma  20989  fprod2dlem  25296  fprodcom2  25300  locfincmp  26375  fiphp3d  26871  hbt  27302  frghash2spot  28389  usgreghash2spotv  28392
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105
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