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Theorem iunfi 7029
Description: The finite union of finite sets is finite. Exercise 13 of [Enderton] p. 144. This is the indexed union version of unifi 7030. Note that  B depends on  x, i.e. can be thought of as  B ( x ). (Contributed by NM, 23-Mar-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
iunfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem iunfi
StepHypRef Expression
1 raleq 2689 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  (/)  B  e.  Fin ) )
2 iuneq1 3816 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
3 0iun 3857 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
42, 3syl6eq 2301 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  U_ x  e.  w  B  =  (/) )
54eleq1d 2319 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin )
)
61, 5imbi12d 313 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  (/)  B  e.  Fin  -> 
(/)  e.  Fin )
) )
7 raleq 2689 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  y  B  e.  Fin ) )
8 iuneq1 3816 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  y  B )
98eleq1d 2319 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
107, 9imbi12d 313 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) ) )
11 raleq 2689 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
12 iuneq1 3816 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B )
1312eleq1d 2319 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin 
<-> 
U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin ) )
1411, 13imbi12d 313 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin ) 
<->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) ) )
15 raleq 2689 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( A. x  e.  w  B  e.  Fin  <->  A. x  e.  A  B  e.  Fin ) )
16 iuneq1 3816 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  U_ x  e.  w  B  =  U_ x  e.  A  B
)
1716eleq1d 2319 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( U_ x  e.  w  B  e.  Fin  <->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
1815, 17imbi12d 313 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( A. x  e.  w  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  w  B  e.  Fin )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) ) )
19 0fin 6972 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
2019a1i 12 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  B  e. 
Fin  ->  (/)  e.  Fin )
21 ssun1 3248 . . . . . . 7  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
22 ssralv 3158 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  A. x  e.  y  B  e.  Fin ) )
2321, 22ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  A. x  e.  y  B  e.  Fin )
2423imim1i 56 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin ) )
25 iunxun 3881 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  =  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )
26 nfcv 2385 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ y B
27 nfcsb1v 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
28 csbeq1a 3017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
2926, 27, 28cbviun 3837 . . . . . . . . . 10  |-  U_ x  e.  { z } B  =  U_ y  e.  {
z } [_ y  /  x ]_ B
30 vex 2730 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
31 csbeq1 3012 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  [_ y  /  x ]_ B  = 
[_ z  /  x ]_ B )
3230, 31iunxsn 3879 . . . . . . . . . 10  |-  U_ y  e.  { z } [_ y  /  x ]_ B  =  [_ z  /  x ]_ B
3329, 32eqtri 2273 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  { z } B  =  [_ z  /  x ]_ B
34 ssun2 3249 . . . . . . . . . . 11  |-  { z }  C_  ( y  u.  { z } )
3530snid 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
{ z }
3634, 35sselii 3100 . . . . . . . . . 10  |-  z  e.  ( y  u.  {
z } )
37 nfcsb1v 3041 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
3837nfel1 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin
39 csbeq1a 3017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
4039eleq1d 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( B  e.  Fin  <->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin ) )
4138, 40rcla4 2815 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e. 
Fin ) )
4236, 41ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  [_ z  /  x ]_ B  e.  Fin )
4333, 42syl5eqel 2337 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )
44 unfi 7009 . . . . . . . 8  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  U_ x  e.  { z } B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
4543, 44sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin )  ->  ( U_ x  e.  y  B  u.  U_ x  e.  { z } B )  e. 
Fin )
4625, 45syl5eqel 2337 . . . . . 6  |-  ( (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e. 
Fin )
4746expcom 426 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin  ->  (
U_ x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  { z } ) B  e.  Fin ) )
4824, 47sylcom 27 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  -> 
( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) )
4948a1i 12 . . 3  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( A. x  e.  y  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  y  B  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  ( y  u.  {
z } ) B  e.  Fin ) ) )
506, 10, 14, 18, 20, 49findcard2 6983 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin ) )
5150imp 420 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   [_csb 3009    u. cun 3076    C_ wss 3078   (/)c0 3362   {csn 3544   U_ciun 3803   Fincfn 6749
This theorem is referenced by:  unifi  7030  ixpfi  7037  marypha2  7076  ackbij1lem9  7738  ackbij1lem10  7739  fsum2dlem  12110  fsumcom2  12114  fsumiun  12156  hashiun  12157  ackbijnn  12163  ablfaclem3  15157  txcmplem2  17168  alexsubALTlem3  17575  aannenlem1  19540  fsumvma  20284  isunscov  24239  locfincmp  25470  fiphp3d  26068  hbt  26500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-fin 6753
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