Theorem iunon 3894

Description: The indexed union of a set of ordinal numbers B(x) is an ordinal number.

Hypotheses

Ref	Expression
iunon.1	|- A e. V
iunon.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
iunon	|- (A.x e. A B e. On -> U_x e. A B e. On)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem iunon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbra1 1679	. . . . . . 7 |- (A.x e. A B e. On -> A.xA.x e. A B e. On)
2		ax-17 968	. . . . . . 7 |- (y e. On -> A.x y e. On)
3		ra4 1686	. . . . . . . 8 |- (A.x e. A B e. On -> (x e. A -> B e. On))
4		eleq1a 1535	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> (y = B -> y e. On))
5	3, 4	syl6 22	. . . . . . 7 |- (A.x e. A B e. On -> (x e. A -> (y = B -> y e. On)))
6	1, 2, 5	r19.23ad 1737	. . . . . 6 |- (A.x e. A B e. On -> (E.x e. A y = B -> y e. On))
7		abid 1458	. . . . . 6 |- (y e. {y | E.x e. A y = B} <-> E.x e. A y = B)
8	6, 7	syl5ib 206	. . . . 5 |- (A.x e. A B e. On -> (y e. {y | E.x e. A y = B} -> y e. On))
9	8	19.21aiv 1281	. . . 4 |- (A.x e. A B e. On -> A.y(y e. {y | E.x e. A y = B} -> y e. On))
10		hbab1 1459	. . . . 5 |- (z e. {y | E.x e. A y = B} -> A.y z e. {y | E.x e. A y = B})
11		ax-17 968	. . . . 5 |- (z e. On -> A.y z e. On)
12	10, 11	dfss2f 2050	. . . 4 |- ({y | E.x e. A y = B} (_ On <-> A.y(y e. {y | E.x e. A y = B} -> y e. On))
13	9, 12	sylibr 200	. . 3 |- (A.x e. A B e. On -> {y | E.x e. A y = B} (_ On)
14		iunon.1	. . . . 5 |- A e. V
15	14	abrexex 3845	. . . 4 |- {y | E.x e. A y = B} e. V
16	15	ssonuni 2985	. . 3 |- ({y | E.x e. A y = B} (_ On -> U.{y | E.x e. A y = B} e. On)
17	13, 16	syl 10	. 2 |- (A.x e. A B e. On -> U.{y | E.x e. A y = B} e. On)
18		iunon.2	. . 3 |- B e. V
19	18	dfiun2 2577	. 2 |- U_x e. A B = U.{y | E.x e. A y = B}
20	17, 19	syl5eqel 1544	1 |- (A.x e. A B e. On -> U_x e. A B e. On)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  {cab 1456  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   (_ wss 2037  U.cuni 2493  U_ciun 2556  Oncon0 2938

This theorem is referenced by:  oacl 4154  omcl 4155  oecl 4156  rankuni2 4662  rankval4 4674  alephon 4837

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188

Copyright terms: Public domain