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Theorem iunpw 4542
Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
iunpw.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
iunpw  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  <->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem iunpw
StepHypRef Expression
1 sseq2 3175 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. A  -> 
( y  C_  x  <->  y 
C_  U. A ) )
21biimprcd 218 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  U. A  ->  (
x  =  U. A  ->  y  C_  x )
)
32reximdv 2629 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  U. A  ->  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  ->  E. x  e.  A  y  C_  x ) )
43com12 29 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  C_  U. A  ->  E. x  e.  A  y  C_  x ) )
5 ssiun 3918 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  y 
C_  x  ->  y  C_ 
U_ x  e.  A  x )
6 uniiun 3929 . . . . . 6  |-  U. A  =  U_ x  e.  A  x
75, 6syl6sseqr 3200 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y 
C_  x  ->  y  C_ 
U. A )
84, 7impbid1 196 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  C_  U. A  <->  E. x  e.  A  y 
C_  x ) )
9 vex 2766 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
109elpw 3605 . . . 4  |-  ( y  e.  ~P U. A  <->  y 
C_  U. A )
11 eliun 3883 . . . . 5  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  e.  ~P x )
12 df-pw 3601 . . . . . . 7  |-  ~P x  =  { y  |  y 
C_  x }
1312abeq2i 2365 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~P x  <->  y  C_  x )
1413rexbii 2543 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  C_  x )
1511, 14bitri 242 . . . 4  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  y  C_  x )
168, 10, 153bitr4g 281 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  -> 
( y  e.  ~P U. A  <->  y  e.  U_ x  e.  A  ~P x ) )
1716eqrdv 2256 . 2  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  ->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
18 ssid 3172 . . . . 5  |-  U. A  C_ 
U. A
19 iunpw.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
2019uniex 4488 . . . . . . 7  |-  U. A  e.  _V
2120elpw 3605 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  ~P U. A  <->  U. A  C_  U. A )
22 eleq2 2319 . . . . . 6  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  ( U. A  e.  ~P U. A  <->  U. A  e. 
U_ x  e.  A  ~P x ) )
2321, 22syl5bbr 252 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  ( U. A  C_ 
U. A  <->  U. A  e. 
U_ x  e.  A  ~P x ) )
2418, 23mpbii 204 . . . 4  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  U. A  e.  U_ x  e.  A  ~P x )
25 eliun 3883 . . . 4  |-  ( U. A  e.  U_ x  e.  A  ~P x  <->  E. x  e.  A  U. A  e. 
~P x )
2624, 25sylib 190 . . 3  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  E. x  e.  A  U. A  e.  ~P x )
27 elssuni 3829 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
28 elpwi 3607 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  ~P x  ->  U. A  C_  x
)
2927, 28anim12i 551 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  U. A  e.  ~P x
)  ->  ( x  C_ 
U. A  /\  U. A  C_  x ) )
30 eqss 3169 . . . . . 6  |-  ( x  =  U. A  <->  ( x  C_ 
U. A  /\  U. A  C_  x ) )
3129, 30sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  U. A  e.  ~P x
)  ->  x  =  U. A )
3231ex 425 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  ( U. A  e.  ~P x  ->  x  =  U. A ) )
3332reximia 2623 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  U. A  e.  ~P x  ->  E. x  e.  A  x  =  U. A )
3426, 33syl 17 . 2  |-  ( ~P
U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x  ->  E. x  e.  A  x  =  U. A )
3517, 34impbii 182 1  |-  ( E. x  e.  A  x  =  U. A  <->  ~P U. A  =  U_ x  e.  A  ~P x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   ~Pcpw 3599   U.cuni 3801   U_ciun 3879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ral 2523  df-rex 2524  df-v 2765  df-in 3134  df-ss 3141  df-pw 3601  df-uni 3802  df-iun 3881
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