Theorem iunun 2610

Description: Separate a union in an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
iunun	|- U_x e. A (B u. C) = (U_x e. A B u. U_x e. A C)

Proof of Theorem iunun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 2171	. . . . . 6 |- (y e. (B u. C) <-> (y e. B \/ y e. C))
2	1	rexbii 1667	. . . . 5 |- (E.x e. A y e. (B u. C) <-> E.x e. A (y e. B \/ y e. C))
3		r19.43 1764	. . . . 5 |- (E.x e. A (y e. B \/ y e. C) <-> (E.x e. A y e. B \/ E.x e. A y e. C))
4	2, 3	bitr 173	. . . 4 |- (E.x e. A y e. (B u. C) <-> (E.x e. A y e. B \/ E.x e. A y e. C))
5	4	abbii 1574	. . 3 |- {y | E.x e. A y e. (B u. C)} = {y | (E.x e. A y e. B \/ E.x e. A y e. C)}
6		unab 2265	. . 3 |- ({y | E.x e. A y e. B} u. {y | E.x e. A y e. C}) = {y | (E.x e. A y e. B \/ E.x e. A y e. C)}
7	5, 6	eqtr4 1497	. 2 |- {y | E.x e. A y e. (B u. C)} = ({y | E.x e. A y e. B} u. {y | E.x e. A y e. C})
8		df-iun 2565	. 2 |- U_x e. A (B u. C) = {y | E.x e. A y e. (B u. C)}
9		df-iun 2565	. . 3 |- U_x e. A B = {y | E.x e. A y e. B}
10		df-iun 2565	. . 3 |- U_x e. A C = {y | E.x e. A y e. C}
11	9, 10	uneq12i 2180	. 2 |- (U_x e. A B u. U_x e. A C) = ({y | E.x e. A y e. B} u. {y | E.x e. A y e. C})
12	7, 8, 11	3eqtr4 1504	1 |- U_x e. A (B u. C) = (U_x e. A B u. U_x e. A C)

Syntax hints:   \/ wo 222   = wceq 955   e. wcel 957  {cab 1463  E.wrex 1645   u. cun 2043  U_ciun 2563

This theorem is referenced by:  oarec 4193

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-12 967  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-rex 1649  df-v 1810  df-un 2048  df-iun 2565

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