Theorem iunxun 2604

Description: Separate a union in the index of an indexed union.

Assertion

Ref	Expression
iunxun	|- U_x e. (A u. B)C = (U_x e. A C u. U_x e. B C)

Proof of Theorem iunxun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 1642	. . . 4 |- (E.x e. (A u. B)y e. C <-> E.x(x e. (A u. B) /\ y e. C))
2		elun 2163	. . . . . . 7 |- (x e. (A u. B) <-> (x e. A \/ x e. B))
3	2	anbi1i 480	. . . . . 6 |- ((x e. (A u. B) /\ y e. C) <-> ((x e. A \/ x e. B) /\ y e. C))
4		andir 603	. . . . . 6 |- (((x e. A \/ x e. B) /\ y e. C) <-> ((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)))
5	3, 4	bitr 173	. . . . 5 |- ((x e. (A u. B) /\ y e. C) <-> ((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)))
6	5	exbii 1047	. . . 4 |- (E.x(x e. (A u. B) /\ y e. C) <-> E.x((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)))
7		19.43 1084	. . . . 5 |- (E.x((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)) <-> (E.x(x e. A /\ y e. C) \/ E.x(x e. B /\ y e. C)))
8		eliun 2560	. . . . . . 7 |- (y e. U_x e. A C <-> E.x e. A y e. C)
9		df-rex 1642	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. C <-> E.x(x e. A /\ y e. C))
10	8, 9	bitr 173	. . . . . 6 |- (y e. U_x e. A C <-> E.x(x e. A /\ y e. C))
11		eliun 2560	. . . . . . 7 |- (y e. U_x e. B C <-> E.x e. B y e. C)
12		df-rex 1642	. . . . . . 7 |- (E.x e. B y e. C <-> E.x(x e. B /\ y e. C))
13	11, 12	bitr 173	. . . . . 6 |- (y e. U_x e. B C <-> E.x(x e. B /\ y e. C))
14	10, 13	orbi12i 257	. . . . 5 |- ((y e. U_x e. A C \/ y e. U_x e. B C) <-> (E.x(x e. A /\ y e. C) \/ E.x(x e. B /\ y e. C)))
15	7, 14	bitr4 176	. . . 4 |- (E.x((x e. A /\ y e. C) \/ (x e. B /\ y e. C)) <-> (y e. U_x e. A C \/ y e. U_x e. B C))
16	1, 6, 15	3bitr 177	. . 3 |- (E.x e. (A u. B)y e. C <-> (y e. U_x e. A C \/ y e. U_x e. B C))
17		eliun 2560	. . 3 |- (y e. U_x e. (A u. B)C <-> E.x e. (A u. B)y e. C)
18		elun 2163	. . 3 |- (y e. (U_x e. A C u. U_x e. B C) <-> (y e. U_x e. A C \/ y e. U_x e. B C))
19	16, 17, 18	3bitr4 183	. 2 |- (y e. U_x e. (A u. B)C <-> y e. (U_x e. A C u. U_x e. B C))
20	19	eqriv 1467	1 |- U_x e. (A u. B)C = (U_x e. A C u. U_x e. B C)

Syntax hints:   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  E.wrex 1638   u. cun 2035  U_ciun 2556

This theorem is referenced by:  oaabs 4236  kmlem11 4747

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-12 965  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-rex 1642  df-v 1803  df-un 2040  df-iun 2558

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