MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth Unicode version

Theorem ivth 18809
Description: The intermediate value theorem, increasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
Assertion
Ref Expression
ivth  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c
)  =  U )
Distinct variable groups:    x, c, B    D, c, x    F, c, x    ph, c, x    A, c, x    U, c, x
Dummy variable  y is distinct from all other variables.

Proof of Theorem ivth
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ivth.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ivth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
4 ivth.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
5 ivth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
6 ivth.7 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
7 ivth.8 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 ivth.9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
9 fveq2 5486 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
109breq1d 4035 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  y
)  <_  U  <->  ( F `  x )  <_  U
) )
1110cbvrabv 2789 . . 3  |-  { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U }  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x
)  <_  U }
12 eqid 2285 . . 3  |-  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12ivthlem3 18808 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )  e.  ( A (,) B
)  /\  ( F `  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  ) )  =  U ) )
14 fveq2 5486 . . . 4  |-  ( c  =  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )  ->  ( F `  c
)  =  ( F `
 sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )
) )
1514eqeq1d 2293 . . 3  |-  ( c  =  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )  ->  ( ( F `  c )  =  U  <-> 
( F `  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  ) )  =  U ) )
1615rspcev 2886 . 2  |-  ( ( sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  )  e.  ( A (,) B
)  /\  ( F `  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  ) )  =  U )  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c )  =  U )
1713, 16syl 17 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   E.wrex 2546   {crab 2549    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   supcsup 7189   CCcc 8731   RRcr 8732    < clt 8863    <_ cle 8864   (,)cioo 10651   [,]cicc 10654   -cn->ccncf 18375
This theorem is referenced by:  ivth2  18810  ivthle  18811  reeff1olem  19817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ioo 10655  df-icc 10658  df-seq 11042  df-exp 11100  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-cncf 18377
  Copyright terms: Public domain W3C validator