MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth Unicode version

Theorem ivth 19339
Description: The intermediate value theorem, increasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
Assertion
Ref Expression
ivth  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c
)  =  U )
Distinct variable groups:    x, c, B    D, c, x    F, c, x    ph, c, x    A, c, x    U, c, x

Proof of Theorem ivth
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ivth.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ivth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
4 ivth.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
5 ivth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
6 ivth.7 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
7 ivth.8 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 ivth.9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
9 fveq2 5719 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
109breq1d 4214 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  y
)  <_  U  <->  ( F `  x )  <_  U
) )
1110cbvrabv 2947 . . 3  |-  { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U }  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x
)  <_  U }
12 eqid 2435 . . 3  |-  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12ivthlem3 19338 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )  e.  ( A (,) B
)  /\  ( F `  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  ) )  =  U ) )
14 fveq2 5719 . . . 4  |-  ( c  =  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )  ->  ( F `  c
)  =  ( F `
 sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )
) )
1514eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( c  =  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )  ->  ( ( F `  c )  =  U  <-> 
( F `  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  ) )  =  U ) )
1615rspcev 3044 . 2  |-  ( ( sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  )  e.  ( A (,) B
)  /\  ( F `  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  ) )  =  U )  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c )  =  U )
1713, 16syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   supcsup 7436   CCcc 8977   RRcr 8978    < clt 9109    <_ cle 9110   (,)cioo 10905   [,]cicc 10908   -cn->ccncf 18894
This theorem is referenced by:  ivth2  19340  ivthle  19341  reeff1olem  20350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-ioo 10909  df-icc 10912  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-cncf 18896
  Copyright terms: Public domain W3C validator