MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivth Unicode version

Theorem ivth 18776
Description: The intermediate value theorem, increasing case. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
Assertion
Ref Expression
ivth  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c
)  =  U )
Distinct variable groups:    x, c, B    D, c, x    F, c, x    ph, c, x    A, c, x    U, c, x

Proof of Theorem ivth
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ivth.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ivth.3 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
4 ivth.4 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  B )
5 ivth.5 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
6 ivth.7 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
7 ivth.8 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 ivth.9 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
9 fveq2 5458 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
109breq1d 4007 . . . 4  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  y
)  <_  U  <->  ( F `  x )  <_  U
) )
1110cbvrabv 2762 . . 3  |-  { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U }  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x
)  <_  U }
12 eqid 2258 . . 3  |-  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12ivthlem3 18775 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )  e.  ( A (,) B
)  /\  ( F `  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  ) )  =  U ) )
14 fveq2 5458 . . . 4  |-  ( c  =  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )  ->  ( F `  c
)  =  ( F `
 sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )
) )
1514eqeq1d 2266 . . 3  |-  ( c  =  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y
)  <_  U } ,  RR ,  <  )  ->  ( ( F `  c )  =  U  <-> 
( F `  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  ) )  =  U ) )
1615rcla4ev 2859 . 2  |-  ( ( sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  )  e.  ( A (,) B
)  /\  ( F `  sup ( { y  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  y )  <_  U } ,  RR ,  <  ) )  =  U )  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c )  =  U )
1713, 16syl 17 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  ( A (,) B ) ( F `  c
)  =  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2519   {crab 2522    C_ wss 3127   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   supcsup 7161   CCcc 8703   RRcr 8704    < clt 8835    <_ cle 8836   (,)cioo 10622   [,]cicc 10625   -cn->ccncf 18342
This theorem is referenced by:  ivth2  18777  ivthle  18778  reeff1olem  19784
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-rp 10322  df-ioo 10626  df-icc 10629  df-seq 11013  df-exp 11071  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-cncf 18344
  Copyright terms: Public domain W3C validator