Theorem ivth2OLD 7242

Description: Corollary to the intermediate value theorem. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivthOLD.1	|- A e. RR
ivthOLD.2	|- B e. RR
ivthOLD.3	|- U e. RR
ivthOLD.4	|- A < B
ivthOLD.5	|- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
ivthOLD.6	|- C = sup({c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}, RR, < )
ivth2OLD.7	|- (P (_ CC /\ Q (_ CC /\ (A[,]B) (_ P)
ivth2OLD.8	|- F e. (P-cn->Q)
ivth2OLD.9	|- A.x e. (A[,]B)(F` x) e. RR

Assertion

Ref	Expression
ivth2OLD	|- (C e. (A(,)B) /\ (F` C) = U)

Distinct variable groups:   x,c,A   B,c,x   x,C   F,c,x   x,P   U,c,x

Proof of Theorem ivth2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthOLD.1	. . 3 |- A e. RR
2		ivthOLD.2	. . 3 |- B e. RR
3		ivthOLD.3	. . 3 |- U e. RR
4		ivthOLD.4	. . 3 |- A < B
5		ivthOLD.5	. . . 4 |- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
6	1	leid 5592	. . . . . . . 8 |- A <_ A
7	1, 2, 4	ltlei 5562	. . . . . . . 8 |- A <_ B
8		elicc2t 6332	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A e. (A[,]B) <-> (A e. RR /\ A <_ A /\ A <_ B)))
9	1, 2, 8	mp2an 696	. . . . . . . . 9 |- (A e. (A[,]B) <-> (A e. RR /\ A <_ A /\ A <_ B))
10	9	biimpr 152	. . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A <_ A /\ A <_ B) -> A e. (A[,]B))
11	1, 6, 7, 10	mp3an 914	. . . . . . 7 |- A e. (A[,]B)
12		fvres 3725	. . . . . . 7 |- (A e. (A[,]B) -> ((F |` (A[,]B))` A) = (F` A))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((F |` (A[,]B))` A) = (F` A)
14	13	breq1i 2621	. . . . 5 |- (((F |` (A[,]B))` A) < U <-> (F` A) < U)
15	2	leid 5592	. . . . . . . 8 |- B <_ B
16		elicc2t 6332	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (B e. (A[,]B) <-> (B e. RR /\ A <_ B /\ B <_ B)))
17	1, 2, 16	mp2an 696	. . . . . . . . 9 |- (B e. (A[,]B) <-> (B e. RR /\ A <_ B /\ B <_ B))
18	17	biimpr 152	. . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ A <_ B /\ B <_ B) -> B e. (A[,]B))
19	2, 7, 15, 18	mp3an 914	. . . . . . 7 |- B e. (A[,]B)
20		fvres 3725	. . . . . . 7 |- (B e. (A[,]B) -> ((F |` (A[,]B))` B) = (F` B))
21	19, 20	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((F |` (A[,]B))` B) = (F` B)
22	21	breq2i 2622	. . . . 5 |- (U < ((F |` (A[,]B))` B) <-> U < (F` B))
23	14, 22	anbi12i 482	. . . 4 |- ((((F |` (A[,]B))` A) < U /\ U < ((F |` (A[,]B))` B)) <-> ((F` A) < U /\ U < (F` B)))
24	5, 23	mpbir 190	. . 3 |- (((F |` (A[,]B))` A) < U /\ U < ((F |` (A[,]B))` B))
25		ivthOLD.6	. . . 4 |- C = sup({c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}, RR, < )
26		fvres 3725	. . . . . . 7 |- (c e. (A[,]B) -> ((F |` (A[,]B))` c) = (F` c))
27	26	breq1d 2624	. . . . . 6 |- (c e. (A[,]B) -> (((F |` (A[,]B))` c) <_ U <-> (F` c) <_ U))
28	27	rabbii 1801	. . . . 5 |- {c e. (A[,]B) | ((F |` (A[,]B))` c) <_ U} = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
29		supeq1 4555	. . . . 5 |- ({c e. (A[,]B) | ((F |` (A[,]B))` c) <_ U} = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U} -> sup({c e. (A[,]B) | ((F |` (A[,]B))` c) <_ U}, RR, < ) = sup({c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}, RR, < ))
30	28, 29	ax-mp 7	. . . 4 |- sup({c e. (A[,]B) | ((F |` (A[,]B))` c) <_ U}, RR, < ) = sup({c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}, RR, < )
31	25, 30	eqtr4 1495	. . 3 |- C = sup({c e. (A[,]B) | ((F |` (A[,]B))` c) <_ U}, RR, < )
32		ivth2OLD.7	. . . . 5 |- (P (_ CC /\ Q (_ CC /\ (A[,]B) (_ P)
33		ivth2OLD.8	. . . . 5 |- F e. (P-cn->Q)
34		rescncf 7215	. . . . 5 |- ((P (_ CC /\ Q (_ CC /\ (A[,]B) (_ P) -> (F e. (P-cn->Q) -> (F |` (A[,]B)) e. ((A[,]B)-cn->Q)))
35	32, 33, 34	mp2 43	. . . 4 |- (F |` (A[,]B)) e. ((A[,]B)-cn->Q)
36		elicc2t 6332	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (x e. (A[,]B) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B)))
37	1, 2, 36	mp2an 696	. . . . . . . . . 10 |- (x e. (A[,]B) <-> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B))
38	37	biimp 151	. . . . . . . . 9 |- (x e. (A[,]B) -> (x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B))
39	38	3simp1d 793	. . . . . . . 8 |- (x e. (A[,]B) -> x e. RR)
40	39	ssriv 2065	. . . . . . 7 |- (A[,]B) (_ RR
41		axresscn 5248	. . . . . . 7 |- RR (_ CC
42	40, 41	sstri 2069	. . . . . 6 |- (A[,]B) (_ CC
43	32	3simp2i 791	. . . . . 6 |- Q (_ CC
44	42, 43, 41	3pm3.2i 817	. . . . 5 |- ((A[,]B) (_ CC /\ Q (_ CC /\ RR (_ CC)
45		ivth2OLD.9	. . . . . 6 |- A.x e. (A[,]B)(F` x) e. RR
46		fvres 3725	. . . . . . . 8 |- (x e. (A[,]B) -> ((F |` (A[,]B))` x) = (F` x))
47	46	eleq1d 1537	. . . . . . 7 |- (x e. (A[,]B) -> (((F |` (A[,]B))` x) e. RR <-> (F` x) e. RR))
48	47	ralbiia 1670	. . . . . 6 |- (A.x e. (A[,]B)((F |` (A[,]B))` x) e. RR <-> A.x e. (A[,]B)(F` x) e. RR)
49	45, 48	mpbir 190	. . . . 5 |- A.x e. (A[,]B)((F |` (A[,]B))` x) e. RR
50		cncffvrn 7216	. . . . 5 |- ((((A[,]B) (_ CC /\ Q (_ CC /\ RR (_ CC) /\ A.x e. (A[,]B)((F |` (A[,]B))` x) e. RR) -> ((F |` (A[,]B)) e. ((A[,]B)-cn->Q) -> (F |` (A[,]B)) e. ((A[,]B)-cn->RR)))
51	44, 49, 50	mp2an 696	. . . 4 |- ((F |` (A[,]B)) e. ((A[,]B)-cn->Q) -> (F |` (A[,]B)) e. ((A[,]B)-cn->RR))
52	35, 51	ax-mp 7	. . 3 |- (F |` (A[,]B)) e. ((A[,]B)-cn->RR)
53	1, 2, 3, 4, 24, 31, 52	ivthOLD 7241	. 2 |- (C e. (A(,)B) /\ ((F |` (A[,]B))` C) = U)
54		ioossicc 6338	. . . . . 6 |- (A(,)B) (_ (A[,]B)
55	53	pm3.26i 320	. . . . . 6 |- C e. (A(,)B)
56	54, 55	sselii 2062	. . . . 5 |- C e. (A[,]B)
57		fvres 3725	. . . . 5 |- (C e. (A[,]B) -> ((F |` (A[,]B))` C) = (F` C))
58	56, 57	ax-mp 7	. . . 4 |- ((F |` (A[,]B))` C) = (F` C)
59	58	eqeq1i 1479	. . 3 |- (((F |` (A[,]B))` C) = U <-> (F` C) = U)
60	59	anbi2i 480	. 2 |- ((C e. (A(,)B) /\ ((F |` (A[,]B))` C) = U) <-> (C e. (A(,)B) /\ (F` C) = U))
61	53, 60	mpbi 189	1 |- (C e. (A(,)B) /\ (F` C) = U)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  {crab 1645   (_ wss 2043   class class class wbr 2614   |` cres 3167  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  supcsup 4553  CCcc 5212  RRcr 5213   <_ cle 5275   < clt 5466  (,)cioo 6302  [,]cicc 6305  -cn->ccncf 7205

This theorem is referenced by:  reeff1olem1OLD 7374

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-q 6202  df-rp 6227  df-seq1 6253  df-ioo 6306  df-icc 6309  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-cncf 7206

Copyright terms: Public domain