Theorem ivthlem1 7281

Description: Lemma for isupivth 7290.

Hypotheses

Ref	Expression
ivthlem1.1	|- U e. RR
ivthlem1.2	|- P e. RR

Assertion

Ref	Expression
ivthlem1	|- ((Q e. RR -> ((abs` (P - Q)) < (P - U) -> U < Q)) /\ (Q e. RR -> ((abs` (P - Q)) < (U - P) -> Q < U)))

Proof of Theorem ivthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnt 5325	. . . . 5 |- (Q e. RR -> Q e. CC)
2		ivthlem1.2	. . . . . . 7 |- P e. RR
3	2	recn 5326	. . . . . 6 |- P e. CC
4		abssubt 6894	. . . . . 6 |- ((P e. CC /\ Q e. CC) -> (abs` (P - Q)) = (abs` (Q - P)))
5	3, 4	mpan 697	. . . . 5 |- (Q e. CC -> (abs` (P - Q)) = (abs` (Q - P)))
6	1, 5	syl 10	. . . 4 |- (Q e. RR -> (abs` (P - Q)) = (abs` (Q - P)))
7	6	breq1d 2634	. . 3 |- (Q e. RR -> ((abs` (P - Q)) < (P - U) <-> (abs` (Q - P)) < (P - U)))
8		ivthlem1.1	. . . . . . . 8 |- U e. RR
9	2, 8	resubcl 5451	. . . . . . 7 |- (P - U) e. RR
10		absdifltt 6883	. . . . . . 7 |- ((Q e. RR /\ P e. RR /\ (P - U) e. RR) -> ((abs` (Q - P)) < (P - U) <-> ((P - (P - U)) < Q /\ Q < (P + (P - U)))))
11	2, 9, 10	mp3an23 910	. . . . . 6 |- (Q e. RR -> ((abs` (Q - P)) < (P - U) <-> ((P - (P - U)) < Q /\ Q < (P + (P - U)))))
12	11	pm3.26bda 422	. . . . 5 |- ((Q e. RR /\ (abs` (Q - P)) < (P - U)) -> (P - (P - U)) < Q)
13	8	recn 5326	. . . . . 6 |- U e. CC
14		nncant 5481	. . . . . 6 |- ((P e. CC /\ U e. CC) -> (P - (P - U)) = U)
15	3, 13, 14	mp2an 699	. . . . 5 |- (P - (P - U)) = U
16	12, 15	syl5eqbrr 2654	. . . 4 |- ((Q e. RR /\ (abs` (Q - P)) < (P - U)) -> U < Q)
17	16	ex 373	. . 3 |- (Q e. RR -> ((abs` (Q - P)) < (P - U) -> U < Q))
18	7, 17	sylbid 203	. 2 |- (Q e. RR -> ((abs` (P - Q)) < (P - U) -> U < Q))
19	6	breq1d 2634	. . 3 |- (Q e. RR -> ((abs` (P - Q)) < (U - P) <-> (abs` (Q - P)) < (U - P)))
20	8, 2	resubcl 5451	. . . . . . 7 |- (U - P) e. RR
21		absdifltt 6883	. . . . . . 7 |- ((Q e. RR /\ P e. RR /\ (U - P) e. RR) -> ((abs` (Q - P)) < (U - P) <-> ((P - (U - P)) < Q /\ Q < (P + (U - P)))))
22	2, 20, 21	mp3an23 910	. . . . . 6 |- (Q e. RR -> ((abs` (Q - P)) < (U - P) <-> ((P - (U - P)) < Q /\ Q < (P + (U - P)))))
23	22	pm3.27bda 423	. . . . 5 |- ((Q e. RR /\ (abs` (Q - P)) < (U - P)) -> Q < (P + (U - P)))
24	3, 13	pncan3 5390	. . . . 5 |- (P + (U - P)) = U
25	23, 24	syl6breq 2659	. . . 4 |- ((Q e. RR /\ (abs` (Q - P)) < (U - P)) -> Q < U)
26	25	ex 373	. . 3 |- (Q e. RR -> ((abs` (Q - P)) < (U - P) -> Q < U))
27	19, 26	sylbid 203	. 2 |- (Q e. RR -> ((abs` (P - Q)) < (U - P) -> Q < U))
28	18, 27	pm3.2i 285	1 |- ((Q e. RR -> ((abs` (P - Q)) < (P - U) -> U < Q)) /\ (Q e. RR -> ((abs` (P - Q)) < (U - P) -> Q < U)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245   + caddc 5249   - cmin 5304   < clt 5498  abscabs 6751

This theorem is referenced by:  ivthlem8 7288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-seq1 6309  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755

Copyright terms: Public domain