Theorem ivthlem4 7284

Description: Lemma for isupivth 7290.

Hypotheses

Ref	Expression
ivthlem4.1	|- A e. RR
ivthlem4.2	|- B e. RR
ivthlem4.3	|- U e. RR
ivthlem4.4	|- A < B
ivthlem4.5	|- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
ivthlem4.6	|- C = sup(S, RR, < )
ivthlem4.7	|- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
ivthlem4.8	|- F e. ((A[,]B)-cn->RR)

Assertion

Ref	Expression
ivthlem4	|- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x) /\ A e. S)

Distinct variable groups:   A,c,x,y   B,c,x,y   x,C,y   F,c,x,y   x,S,y   U,c,y

Proof of Theorem ivthlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthlem4.1	. . 3 |- A e. RR
2		ivthlem4.2	. . 3 |- B e. RR
3		ivthlem4.7	. . . . 5 |- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
4		ssrab2 2131	. . . . 5 |- {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U} (_ (A[,]B)
5	3, 4	eqsstr 2091	. . . 4 |- S (_ (A[,]B)
6		fveq2 3724	. . . . . . 7 |- (c = A -> (F` c) = (F` A))
7	6	breq1d 2629	. . . . . 6 |- (c = A -> ((F` c) <_ U <-> (F` A) <_ U))
8	7, 3	elrab2 1907	. . . . 5 |- (A e. S <-> (A e. (A[,]B) /\ (F` A) <_ U))
9		ivthlem4.4	. . . . . . 7 |- A < B
10	1, 2, 9	ltlei 5581	. . . . . 6 |- A <_ B
11		lbicc2t 6404	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B) -> A e. (A[,]B))
12	1, 2, 10, 11	mp3an 916	. . . . 5 |- A e. (A[,]B)
13		iccssret 6396	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A[,]B) (_ RR)
14	1, 2, 13	mp2an 697	. . . . . . . . 9 |- (A[,]B) (_ RR
15		axresscn 5268	. . . . . . . . 9 |- RR (_ CC
16	14, 15	sstri 2073	. . . . . . . 8 |- (A[,]B) (_ CC
17		ivthlem4.8	. . . . . . . 8 |- F e. ((A[,]B)-cn->RR)
18		cncffvelrn 7268	. . . . . . . 8 |- (((A[,]B) (_ CC /\ RR (_ CC /\ F e. ((A[,]B)-cn->RR)) -> (A e. (A[,]B) -> (F` A) e. RR))
19	16, 15, 17, 18	mp3an 916	. . . . . . 7 |- (A e. (A[,]B) -> (F` A) e. RR)
20	12, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (F` A) e. RR
21		ivthlem4.3	. . . . . 6 |- U e. RR
22		ivthlem4.5	. . . . . . 7 |- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
23	22	pm3.26i 320	. . . . . 6 |- (F` A) < U
24	20, 21, 23	ltlei 5581	. . . . 5 |- (F` A) <_ U
25	8, 12, 24	mpbir2an 730	. . . 4 |- A e. S
26		iccsupr 6398	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ S (_ (A[,]B) /\ A e. S) -> (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x))
27	5, 25, 26	mp3an23 908	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x))
28	1, 2, 27	mp2an 697	. 2 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)
29	28, 25	pm3.2i 285	1 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x) /\ A e. S)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648   (_ wss 2047  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  supcsup 4573  CCcc 5232  RRcr 5233   <_ cle 5295   < clt 5486  [,]cicc 6360  -cn->ccncf 7262

This theorem is referenced by:  ivthlem5 7285  ivthlem6 7286  ivthlem7 7287  ivthlem9 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-ltp 5090  df-enr 5166  df-nr 5167  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-c 5240  df-r 5244  df-lt 5247  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-icc 6364  df-cncf 7263

Copyright terms: Public domain