Theorem ivthlem5 7237

Description: Lemma for isupivth 7242.

Hypotheses

Ref	Expression
ivthlem4.1	|- A e. RR
ivthlem4.2	|- B e. RR
ivthlem4.3	|- U e. RR
ivthlem4.4	|- A < B
ivthlem4.5	|- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
ivthlem4.6	|- C = sup(S, RR, < )
ivthlem4.7	|- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
ivthlem4.8	|- F e. ((A[,]B)-cn->RR)

Assertion

Ref	Expression
ivthlem5	|- C e. (A[,]B)

Distinct variable groups:   A,c   B,c   F,c   U,c

Proof of Theorem ivthlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthlem4.6	. . . 4 |- C = sup(S, RR, < )
2		ivthlem4.1	. . . . . . 7 |- A e. RR
3		ivthlem4.2	. . . . . . 7 |- B e. RR
4		ivthlem4.3	. . . . . . 7 |- U e. RR
5		ivthlem4.4	. . . . . . 7 |- A < B
6		ivthlem4.5	. . . . . . 7 |- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
7		ivthlem4.7	. . . . . . 7 |- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
8		ivthlem4.8	. . . . . . 7 |- F e. ((A[,]B)-cn->RR)
9	2, 3, 4, 5, 6, 1, 7, 8	ivthlem4 7236	. . . . . 6 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x) /\ A e. S)
10	9	pm3.26i 320	. . . . 5 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)
11	10	suprcli 6018	. . . 4 |- sup(S, RR, < ) e. RR
12	1, 11	eqeltr 1542	. . 3 |- C e. RR
13		suprub 6013	. . . . 5 |- (((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x) /\ A e. S) -> A <_ sup(S, RR, < ))
14	9, 13	ax-mp 7	. . . 4 |- A <_ sup(S, RR, < )
15	14, 1	breqtrr 2636	. . 3 |- A <_ C
16		ssrab2 2128	. . . . . . . . . 10 |- {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U} (_ (A[,]B)
17	7, 16	eqsstr 2088	. . . . . . . . 9 |- S (_ (A[,]B)
18	17	sseli 2062	. . . . . . . 8 |- (v e. S -> v e. (A[,]B))
19		elicc2t 6337	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (v e. (A[,]B) <-> (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B)))
20	2, 3, 19	mp2an 696	. . . . . . . 8 |- (v e. (A[,]B) <-> (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B))
21	18, 20	sylib 198	. . . . . . 7 |- (v e. S -> (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B))
22	21	3simp3d 795	. . . . . 6 |- (v e. S -> v <_ B)
23	22	rgen 1696	. . . . 5 |- A.v e. S v <_ B
24	10	suprleubi 6022	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ A.v e. S v <_ B) -> sup(S, RR, < ) <_ B)
25	3, 23, 24	mp2an 696	. . . 4 |- sup(S, RR, < ) <_ B
26	1, 25	eqbrtr 2630	. . 3 |- C <_ B
27	12, 15, 26	3pm3.2i 817	. 2 |- (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)
28		elicc2t 6337	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
29	2, 3, 28	mp2an 696	. 2 |- (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B))
30	27, 29	mpbir 190	1 |- C e. (A[,]B)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957   =/= wne 1583  A.wral 1643  E.wrex 1644  {crab 1646   (_ wss 2044  (/)c0 2277   class class class wbr 2615  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  supcsup 4556  RRcr 5216   <_ cle 5278   < clt 5469  [,]cicc 6310  -cn->ccncf 7214

This theorem is referenced by:  ivthlem6 7238  ivthlem7 7239  ivthlem8 7240  ivthlem9 7241

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-icc 6314  df-cncf 7215

Copyright terms: Public domain