Theorem ivthlem5OLD 7237

Description: Lemma for ivthOLD 7241.

Hypotheses

Ref	Expression
ivthOLD.1	|- A e. RR
ivthOLD.2	|- B e. RR
ivthOLD.3	|- U e. RR
ivthOLD.4	|- A < B
ivthOLD.5	|- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
ivthlem4OLD.6	|- C = sup(S, RR, < )
ivthlem4OLD.7	|- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
ivthlem4OLD.8	|- F:(A[,]B)-->RR

Assertion

Ref	Expression
ivthlem5OLD	|- C e. (A[,]B)

Distinct variable groups:   A,c   B,c   F,c   U,c

Proof of Theorem ivthlem5OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthlem4OLD.6	. . . 4 |- C = sup(S, RR, < )
2		ivthOLD.1	. . . . . . 7 |- A e. RR
3		ivthOLD.2	. . . . . . 7 |- B e. RR
4		ivthOLD.3	. . . . . . 7 |- U e. RR
5		ivthOLD.4	. . . . . . 7 |- A < B
6		ivthOLD.5	. . . . . . 7 |- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
7		ivthlem4OLD.7	. . . . . . 7 |- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
8		ivthlem4OLD.8	. . . . . . 7 |- F:(A[,]B)-->RR
9	2, 3, 4, 5, 6, 1, 7, 8	ivthlem4OLD 7236	. . . . . 6 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x) /\ A e. S)
10	9	pm3.26i 320	. . . . 5 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)
11	10	suprcli 6016	. . . 4 |- sup(S, RR, < ) e. RR
12	1, 11	eqeltr 1541	. . 3 |- C e. RR
13		suprub 6011	. . . . 5 |- (((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x) /\ A e. S) -> A <_ sup(S, RR, < ))
14	9, 13	ax-mp 7	. . . 4 |- A <_ sup(S, RR, < )
15	14, 1	breqtrr 2635	. . 3 |- A <_ C
16		ssrab2 2127	. . . . . . . . . 10 |- {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U} (_ (A[,]B)
17	7, 16	eqsstr 2087	. . . . . . . . 9 |- S (_ (A[,]B)
18	17	sseli 2061	. . . . . . . 8 |- (v e. S -> v e. (A[,]B))
19		elicc2t 6332	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (v e. (A[,]B) <-> (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B)))
20	2, 3, 19	mp2an 696	. . . . . . . 8 |- (v e. (A[,]B) <-> (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B))
21	18, 20	sylib 198	. . . . . . 7 |- (v e. S -> (v e. RR /\ A <_ v /\ v <_ B))
22	21	3simp3d 795	. . . . . 6 |- (v e. S -> v <_ B)
23	22	rgen 1695	. . . . 5 |- A.v e. S v <_ B
24	10	suprleubi 6020	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ A.v e. S v <_ B) -> sup(S, RR, < ) <_ B)
25	3, 23, 24	mp2an 696	. . . 4 |- sup(S, RR, < ) <_ B
26	1, 25	eqbrtr 2629	. . 3 |- C <_ B
27	12, 15, 26	3pm3.2i 817	. 2 |- (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)
28		elicc2t 6332	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B)))
29	2, 3, 28	mp2an 696	. 2 |- (C e. (A[,]B) <-> (C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B))
30	27, 29	mpbir 190	1 |- C e. (A[,]B)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643  {crab 1645   (_ wss 2043  (/)c0 2276   class class class wbr 2614  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  supcsup 4553  RRcr 5213   <_ cle 5275   < clt 5466  [,]cicc 6305

This theorem is referenced by:  ivthlem6OLD 7238  ivthlem7OLD 7239  ivthlem8OLD 7240

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-icc 6309

Copyright terms: Public domain