MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixi Structured version   Unicode version

Theorem ixi 9651
Description:  _i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixi  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1

Proof of Theorem ixi
StepHypRef Expression
1 df-neg 9294 . 2  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
2 ax-i2m1 9058 . . 3  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
3 0cn 9084 . . . 4  |-  0  e.  CC
4 ax-1cn 9048 . . . 4  |-  1  e.  CC
5 ax-icn 9049 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
65, 5mulcli 9095 . . . 4  |-  ( _i  x.  _i )  e.  CC
73, 4, 6subadd2i 9388 . . 3  |-  ( ( 0  -  1 )  =  ( _i  x.  _i )  <->  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0 )
82, 7mpbir 201 . 2  |-  ( 0  -  1 )  =  ( _i  x.  _i )
91, 8eqtr2i 2457 1  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991   _ici 8992    + caddc 8993    x. cmul 8995    - cmin 9291   -ucneg 9292
This theorem is referenced by:  recextlem1  9652  inelr  9990  cju  9996  irec  11480  i2  11481  crre  11919  remim  11922  remullem  11933  sqrneglem  12072  absi  12091  sinhval  12755  coshval  12756  cosadd  12766  absefib  12799  efieq1re  12800  demoivreALT  12802  itgmulc2  19725  tanarg  20514  atandm2  20717  efiasin  20728  asinsinlem  20731  asinsin  20732  asin1  20734  efiatan  20752  atanlogsublem  20755  efiatan2  20757  2efiatan  20758  tanatan  20759  atantan  20763  atans2  20771  dvatan  20775  log2cnv  20784  nvpi  22155  ipasslem10  22340  polid2i  22659  lnophmlem2  23520  itgmulc2nc  26273  dvreasin  26290
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-ltxr 9125  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator