Theorem ixpconst 4345

Description: Infinite Cartesian product of a constant B.

Hypotheses

Ref	Expression
ixpconst.1	|- A e. V
ixpconst.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ixpconst	|- X_x e. A B = (B ^m A)

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ixpconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1810	. . . 4 |- f e. V
2	1	elixpconst 4344	. . 3 |- (f e. X_x e. A B <-> f:A-->B)
3	2	abbi2i 1572	. 2 |- X_x e. A B = {f | f:A-->B}
4		ixpconst.2	. . 3 |- B e. V
5		ixpconst.1	. . 3 |- A e. V
6	4, 5	mapval 4325	. 2 |- (B ^m A) = {f | f:A-->B}
7	3, 6	eqtr4 1496	1 |- X_x e. A B = (B ^m A)

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957  {cab 1462  Vcvv 1808  -->wf 3174  (class class class)co 3958   ^m cm 4315  X_cixp 4340

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-map 4317  df-ixp 4341

Copyright terms: Public domain