Theorem ixpexg 4364

Description: The existence of an infinite Cartesian product. x is normally a free-variable parameter in B. Remark in Enderton p. 54.

Assertion

Ref	Expression
ixpexg	|- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> X_x e. A B e. V)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem ixpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunexg 3868	. . . 4 |- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> U_x e. A B e. V)
2		xpexg 3265	. . . 4 |- ((A e. C /\ U_x e. A B e. V) -> (A X. U_x e. A B) e. V)
3	1, 2	syldan 469	. . 3 |- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> (A X. U_x e. A B) e. V)
4		uniixp 4363	. . . 4 |- U.X_x e. A B (_ (A X. U_x e. A B)
5		ssexg 2726	. . . 4 |- ((U.X_x e. A B (_ (A X. U_x e. A B) /\ (A X. U_x e. A B) e. V) -> U.X_x e. A B e. V)
6	4, 5	mpan 697	. . 3 |- ((A X. U_x e. A B) e. V -> U.X_x e. A B e. V)
7	3, 6	syl 10	. 2 |- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> U.X_x e. A B e. V)
8		uniexb 2913	. 2 |- (X_x e. A B e. V <-> U.X_x e. A B e. V)
9	7, 8	sylibr 200	1 |- ((A e. C /\ A.x e. A B e. D) -> X_x e. A B e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  A.wral 1648  Vcvv 1814   (_ wss 2050  U.cuni 2507  U_ciun 2570   X. cxp 3174  X_cixp 4353

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-ixp 4354

Copyright terms: Public domain