Theorem ixpssmap 4360

Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentation. Remark in [Enderton] p. 54.

Hypotheses

Ref	Expression
mapixp.1	|- A e. V
mapixp.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
ixpssmap	|- X_x e. A B (_ (U_x e. A B ^m A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem ixpssmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpf 4353	. . 3 |- (f e. X_x e. A B -> f:A-->U_x e. A B)
2		mapixp.1	. . . . 5 |- A e. V
3		mapixp.2	. . . . 5 |- B e. V
4	2, 3	iunex 3860	. . . 4 |- U_x e. A B e. V
5	4, 2	elmap 4331	. . 3 |- (f e. (U_x e. A B ^m A) <-> f:A-->U_x e. A B)
6	1, 5	sylibr 200	. 2 |- (f e. X_x e. A B -> f e. (U_x e. A B ^m A))
7	6	ssriv 2067	1 |- X_x e. A B (_ (U_x e. A B ^m A)

Syntax hints:   e. wcel 957  Vcvv 1809   (_ wss 2045  U_ciun 2563  -->wf 3175  (class class class)co 3960   ^m cm 4319  X_cixp 4344

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-map 4321  df-ixp 4345

Copyright terms: Public domain