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Theorem jm2.15nn0 26463
Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Yrm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.15nn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )

Proof of Theorem jm2.15nn0
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10205 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 eluzelz 10205 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  ZZ )
3 zsubcl 10028 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
5 0z 10002 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
6 congid 26425 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 0  -  0 ) )
74, 5, 6sylancl 646 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
0  -  0 ) )
8 rmy0 26381 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
9 rmy0 26381 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B Yrm  0 )  =  0 )
108, 9oveqan12d 5811 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
117, 10breqtrrd 4023 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) )
12 1z 10020 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
13 congid 26425 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 1  -  1 ) )
144, 12, 13sylancl 646 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
1  -  1 ) )
15 rmy1 26382 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
16 rmy1 26382 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B Yrm  1 )  =  1 )
1715, 16oveqan12d 5811 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) )  =  ( 1  -  1 ) )
1814, 17breqtrrd 4023 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) )
19 pm3.43 835 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) ) )
2043ad2ant2 982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
21 2z 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
2221a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
23 simp2l 986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
24 nnz 10012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  ZZ )
25243ad2ant1 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
26 frmy 26366 . . . . . . . . . . . . 13  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2726fovcl 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2823, 25, 27syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
291adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  A  e.  ZZ )
30293ad2ant2 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
3128, 30zmulcld 10090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ )
3222, 31zmulcld 10090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  e.  ZZ )
33 simp2r 987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3426fovcl 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )
3533, 25, 34syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )
362adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  B  e.  ZZ )
37363ad2ant2 982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
3835, 37zmulcld 10090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( B Yrm  b )  x.  B )  e.  ZZ )
3922, 38zmulcld 10090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) )  e.  ZZ )
40 peano2zm 10029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
4124, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
42413ad2ant1 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
4326fovcl 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4423, 42, 43syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ )
4526fovcl 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( B Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4633, 42, 45syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ )
47 congid 26425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 2  -  2 ) )
4820, 21, 47sylancl 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( 2  -  2 ) )
49 simp3r 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )
50 iddvds 12504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  ->  ( A  -  B )  ||  ( A  -  B
) )
5120, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( A  -  B
) )
52 congmul 26421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) )  /\  ( A  -  B
)  ||  ( A  -  B ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) )
5320, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52syl322anc 1215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) )
54 congmul 26421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  (
( B Yrm  b )  x.  B )  e.  ZZ )  /\  ( ( A  -  B )  ||  ( 2  -  2 )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) ) )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) ) ) )
5520, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54syl322anc 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) ) )
56 simp3l 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
57 congsub 26424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  B
)  ||  ( (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) ) )  /\  ( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )
5820, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57syl322anc 1215 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) )
59 rmyluc 26389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6023, 25, 59syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
61 rmyluc 26389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( B Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6233, 25, 61syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6360, 62oveq12d 5810 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )
6458, 63breqtrrd 4023 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
65643exp 1155 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
6665a2d 25 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
6719, 66syl5 30 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
68 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
69 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  0 ) )
7068, 69oveq12d 5810 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) )
7170breq2d 4009 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) ) )
7271imbi2d 309 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) ) ) )
73 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  1 ) )
74 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  1 ) )
7573, 74oveq12d 5810 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) )
7675breq2d 4009 . . . . 5  |-  ( a  =  1  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) ) )
7776imbi2d 309 . . . 4  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) ) ) )
78 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )
79 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )
8078, 79oveq12d 5810 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
8180breq2d 4009 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) )
8281imbi2d 309 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) ) )
83 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
84 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  b ) )
8583, 84oveq12d 5810 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )
8685breq2d 4009 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )
8786imbi2d 309 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) ) )
88 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
89 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) )
9088, 89oveq12d 5810 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
9190breq2d 4009 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
9291imbi2d 309 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
93 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
94 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  N ) )
9593, 94oveq12d 5810 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )
9695breq2d 4009 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) )
9796imbi2d 309 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) ) )
9811, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 972nn0ind 26397 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) )
9998impcom 421 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm 
N )  -  ( B Yrm 
N ) ) )
100993impa 1151 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    - cmin 9005   NNcn 9714   2c2 9763   NN0cn0 9932   ZZcz 9991   ZZ>=cuz 10197    || cdivides 12493   Yrm crmy 26353
This theorem is referenced by:  jm2.27a  26465  jm2.27c  26467
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-mod 10940  df-seq 11013  df-exp 11071  df-fac 11255  df-bc 11282  df-hash 11304  df-shft 11527  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-limsup 11910  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-ef 12311  df-sin 12313  df-cos 12314  df-pi 12316  df-divides 12494  df-gcd 12648  df-numer 12768  df-denom 12769  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-lp 16830  df-perf 16831  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-haus 17005  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-limc 19178  df-dv 19179  df-log 19876  df-squarenn 26293  df-pell1qr 26294  df-pell14qr 26295  df-pell1234qr 26296  df-pellfund 26297  df-rmx 26354  df-rmy 26355
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