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Theorem jm2.15nn0 27006
Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Yrm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.15nn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )

Proof of Theorem jm2.15nn0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10480 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 eluzelz 10480 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  B  e.  ZZ )
3 zsubcl 10303 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
5 0z 10277 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
6 congid 26968 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 0  -  0 ) )
74, 5, 6sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
0  -  0 ) )
8 rmy0 26924 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
9 rmy0 26924 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B Yrm  0 )  =  0 )
108, 9oveqan12d 6086 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) )  =  ( 0  -  0 ) )
117, 10breqtrrd 4225 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) )
12 1z 10295 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
13 congid 26968 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 1  -  1 ) )
144, 12, 13sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
1  -  1 ) )
15 rmy1 26925 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
16 rmy1 26925 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( B Yrm  1 )  =  1 )
1715, 16oveqan12d 6086 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) )  =  ( 1  -  1 ) )
1814, 17breqtrrd 4225 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) )
19 pm3.43 833 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) ) )
2043ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  e.  ZZ )
21 2z 10296 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
23 simp2l 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
24 nnz 10287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  ZZ )
25243ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
26 frmy 26909 . . . . . . . . . . . . 13  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2726fovcl 6161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2823, 25, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
291adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  A  e.  ZZ )
30293ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
3128, 30zmulcld 10365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ )
3222, 31zmulcld 10365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  e.  ZZ )
33 simp2r 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3426fovcl 6161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )
3533, 25, 34syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )
362adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  B  e.  ZZ )
37363ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
3835, 37zmulcld 10365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( B Yrm  b )  x.  B )  e.  ZZ )
3922, 38zmulcld 10365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) )  e.  ZZ )
40 peano2zm 10304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
4124, 40syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
42413ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
4326fovcl 6161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4423, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ )
4526fovcl 6161 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( B Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4633, 42, 45syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ )
47 congid 26968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  ||  ( 2  -  2 ) )
4820, 21, 47sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( 2  -  2 ) )
49 simp3r 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )
50 iddvds 12846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  ->  ( A  -  B )  ||  ( A  -  B
) )
5120, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( A  -  B
) )
52 congmul 26964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  ( B Yrm  b )  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) )  /\  ( A  -  B
)  ||  ( A  -  B ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) )
5320, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52syl322anc 1212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) )
54 congmul 26964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  (
( B Yrm  b )  x.  B )  e.  ZZ )  /\  ( ( A  -  B )  ||  ( 2  -  2 )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) ) )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) ) ) )
5520, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54syl322anc 1212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) ) ) )
56 simp3l 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
57 congsub 26967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  B
)  ||  ( (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) ) )  /\  ( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B
) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )
5820, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57syl322anc 1212 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) )
59 rmyluc 26932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6023, 25, 59syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
61 rmyluc 26932 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( B Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6233, 25, 61syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( B Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6360, 62oveq12d 6085 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( ( B Yrm  b )  x.  B ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) ) )
6458, 63breqtrrd 4225 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  ( ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
65643exp 1152 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )  ->  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
6665a2d 24 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )  /\  ( A  -  B )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
6719, 66syl5 30 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )  /\  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
68 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
69 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  0 ) )
7068, 69oveq12d 6085 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) )
7170breq2d 4211 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) ) )
7271imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  0 )  -  ( B Yrm  0 ) ) ) ) )
73 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  1 ) )
74 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  1  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  1 ) )
7573, 74oveq12d 6085 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) )
7675breq2d 4211 . . . . 5  |-  ( a  =  1  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) ) )
7776imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  1 )  -  ( B Yrm  1 ) ) ) ) )
78 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )
79 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) )
8078, 79oveq12d 6085 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
8180breq2d 4211 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) )
8281imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) ) ) )
83 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
84 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  b ) )
8583, 84oveq12d 6085 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) )
8685breq2d 4211 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) )
8786imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  b )  -  ( B Yrm  b ) ) ) ) )
88 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
89 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) )
9088, 89oveq12d 6085 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
9190breq2d 4211 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
9291imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( B Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) ) )
93 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
94 oveq2 6075 . . . . . . 7  |-  ( a  =  N  ->  ( B Yrm  a )  =  ( B Yrm  N ) )
9593, 94oveq12d 6085 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  =  ( ( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )
9695breq2d 4211 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) )  <->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) )
9796imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  a )  -  ( B Yrm  a ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) ) )
9811, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 972nn0ind 26940 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) ) )
9998impcom 420 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A  -  B
)  ||  ( ( A Yrm 
N )  -  ( B Yrm 
N ) ) )
100993impa 1148 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  B )  ||  (
( A Yrm  N )  -  ( B Yrm  N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   0cc0 8974   1c1 8975    + caddc 8977    x. cmul 8979    - cmin 9275   NNcn 9984   2c2 10033   NN0cn0 10205   ZZcz 10266   ZZ>=cuz 10472    || cdivides 12835   Yrm crmy 26896
This theorem is referenced by:  jm2.27a  27008  jm2.27c  27010
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-omul 6715  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-ixp 7050  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-fi 7402  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-acn 7813  df-cda 8032  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-xneg 10694  df-xadd 10695  df-xmul 10696  df-ioo 10904  df-ioc 10905  df-ico 10906  df-icc 10907  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-fl 11185  df-mod 11234  df-seq 11307  df-exp 11366  df-fac 11550  df-bc 11577  df-hash 11602  df-shft 11865  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-limsup 12248  df-clim 12265  df-rlim 12266  df-sum 12463  df-ef 12653  df-sin 12655  df-cos 12656  df-pi 12658  df-dvds 12836  df-gcd 12990  df-numer 13110  df-denom 13111  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-starv 13527  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ds 13534  df-unif 13535  df-hom 13536  df-cco 13537  df-rest 13633  df-topn 13634  df-topgen 13650  df-pt 13651  df-prds 13654  df-xrs 13709  df-0g 13710  df-gsum 13711  df-qtop 13716  df-imas 13717  df-xps 13719  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-mulg 14798  df-cntz 15099  df-cmn 15397  df-psmet 16677  df-xmet 16678  df-met 16679  df-bl 16680  df-mopn 16681  df-fbas 16682  df-fg 16683  df-cnfld 16687  df-top 16946  df-bases 16948  df-topon 16949  df-topsp 16950  df-cld 17066  df-ntr 17067  df-cls 17068  df-nei 17145  df-lp 17183  df-perf 17184  df-cn 17274  df-cnp 17275  df-haus 17362  df-tx 17577  df-hmeo 17770  df-fil 17861  df-fm 17953  df-flim 17954  df-flf 17955  df-xms 18333  df-ms 18334  df-tms 18335  df-cncf 18891  df-limc 19736  df-dv 19737  df-log 20437  df-squarenn 26836  df-pell1qr 26837  df-pell14qr 26838  df-pell1234qr 26839  df-pellfund 26840  df-rmx 26897  df-rmy 26898
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