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Theorem jm2.16nn0 26450
Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 26449 if Yrm is redefined as described in rmyluc 26375. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.16nn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  -  N ) )

Proof of Theorem jm2.16nn0
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10191 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 peano2zm 10015 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
4 0z 9988 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
5 congid 26411 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 0  -  0 ) )
63, 4, 5sylancl 646 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 0  -  0 ) )
7 rmy0 26367 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
87oveq1d 5793 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm  0 )  -  0 )  =  ( 0  -  0 ) )
96, 8breqtrrd 4009 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  0 )  -  0 ) )
10 1z 10006 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
11 congid 26411 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 1  -  1 ) )
123, 10, 11sylancl 646 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 1  -  1 ) )
13 rmy1 26368 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
1413oveq1d 5793 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm  1 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
1512, 14breqtrrd 4009 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  1 )  -  1 ) )
16 pm3.43 835 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) ) )  /\  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) ) )
171adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ZZ )
1817, 2syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  1 )  e.  ZZ )
19 eluzel2 10188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ZZ )
2019adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
2  e.  ZZ )
21 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
22 nnz 9998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  ZZ )
2322adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  ZZ )
24 frmy 26352 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2524fovcl 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2621, 23, 25syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2726, 17zmulcld 10076 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ )
2820, 27zmulcld 10076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ )
29 zmulcl 10019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( b  x.  1 )  e.  ZZ )
3023, 10, 29sylancl 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  x.  1 )  e.  ZZ )
3120, 30zmulcld 10076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  e.  ZZ )
3218, 28, 313jca 1137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  e.  ZZ ) )
33323adant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  e.  ZZ ) )
34 peano2zm 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
3523, 34syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  -  1 )  e.  ZZ )
3624fovcl 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
3721, 35, 36syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
3837, 35jca 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ ) )
39383adant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( b  -  1 )  e.  ZZ ) )
4018, 20, 203jca 1137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
)
41403adant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ ) )
4227, 30jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  (
b  x.  1 )  e.  ZZ ) )
43423adant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( (
( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  ( b  x.  1 )  e.  ZZ ) )
44 congid 26411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 2  -  2 ) )
4518, 20, 44syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( 2  -  2 ) )
46453adant3 980 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 2  -  2 ) )
4718, 26, 233jca 1137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )
48473adant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )
4910a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  e.  ZZ )
5017, 49jca 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
51503adant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
52 simp3r 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) )
53 iddvds 12490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( A  - 
1 ) )
5418, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( A  -  1 ) )
55543adant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( A  -  1
) )
56 congmul 26407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b
)  /\  ( A  -  1 )  ||  ( A  -  1
) ) )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  (
b  x.  1 ) ) )
5748, 51, 52, 55, 56syl112anc 1191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( b  x.  1 ) ) )
58 congmul 26407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  (
b  x.  1 )  e.  ZZ )  /\  ( ( A  - 
1 )  ||  (
2  -  2 )  /\  ( A  - 
1 )  ||  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( b  x.  1 ) ) ) )  ->  ( A  - 
1 )  ||  (
( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( 2  x.  (
b  x.  1 ) ) ) )
5941, 43, 46, 57, 58syl112anc 1191 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( 2  x.  ( b  x.  1 ) ) ) )
60 simp3l 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( b  - 
1 ) ) )
61 congsub 26410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ  /\  ( b  -  1 )  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( b  x.  1 ) ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( b  - 
1 ) ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
6233, 39, 59, 60, 61syl112anc 1191 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
63 rmyluc 26375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6421, 23, 63syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
65 nncn 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  CC )
6665mulid1d 8806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN  ->  (
b  x.  1 )  =  b )
6766oveq2d 5794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2  x.  ( b  x.  1 ) )  =  ( 2  x.  b ) )
68652timesd 9907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2  x.  b )  =  ( b  +  b ) )
6967, 68eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2  x.  ( b  x.  1 ) )  =  ( b  +  b ) )
7069oveq1d 5793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) )  =  ( ( b  +  b )  -  ( b  -  1 ) ) )
71 ax-1cn 8749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
7271a1i 12 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  1  e.  CC )
7365, 65, 72pnncand 9150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( b  +  b )  -  ( b  -  1 ) )  =  ( b  +  1 ) )
7470, 73eqtr2d 2289 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  (
b  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) )
7574adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  -  ( b  - 
1 ) ) )
7664, 75oveq12d 5796 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
77763adant3 980 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  (
b  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
7862, 77breqtrrd 4009 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) )
79783exp 1155 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
( ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) ) )
8079a2d 25 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) ) )
8116, 80syl5 30 . . 3  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) ) )  /\  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) ) )
82 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
83 id 21 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  a  =  0 )
8482, 83oveq12d 5796 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  0 )  - 
0 ) )
8584breq2d 3995 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  0 )  - 
0 ) ) )
8685imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  0 )  -  0 ) ) ) )
87 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  1 ) )
88 id 21 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  a  =  1 )
8987, 88oveq12d 5796 . . . . 5  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  1 )  - 
1 ) )
9089breq2d 3995 . . . 4  |-  ( a  =  1  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  1 )  - 
1 ) ) )
9190imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  1  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  1 )  -  1 ) ) ) )
92 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )
93 id 21 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  a  =  ( b  - 
1 ) )
9492, 93oveq12d 5796 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) )
9594breq2d 3995 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
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( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
9695imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) ) ) ) )
97 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
98 id 21 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
9997, 98oveq12d 5796 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  b )  -  b ) )
10099breq2d 3995 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
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1 )  ||  (
( A Yrm  b )  -  b ) ) )
101100imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b
) ) ) )
102 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
103 id 21 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  a  =  ( b  +  1 ) )
104102, 103oveq12d 5796 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) )
105104breq2d 3995 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
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1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) )
106105imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
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b  +  1 ) ) ) ) )
107 oveq2 5786 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
108 id 21 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  a  =  N )
109107, 108oveq12d 5796 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  N )  -  N ) )
110109breq2d 3995 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
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1 )  ||  (
( A Yrm  N )  -  N ) ) )
111110imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  N )  -  N
) ) ) )
1129, 15, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 1112nn0ind 26383 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  N )  -  N ) ) )
113112impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  -  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3983   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   CCcc 8689   0cc0 8691   1c1 8692    + caddc 8694    x. cmul 8696    - cmin 8991   NNcn 9700   2c2 9749   NN0cn0 9918   ZZcz 9977   ZZ>=cuz 10183    || cdivides 12479   Yrm crmy 26339
This theorem is referenced by:  jm2.27a  26451  jm2.27c  26453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-ixp 6772  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-mod 10926  df-seq 10999  df-exp 11057  df-fac 11241  df-bc 11268  df-hash 11290  df-shft 11513  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-ef 12297  df-sin 12299  df-cos 12300  df-pi 12302  df-divides 12480  df-gcd 12634  df-numer 12754  df-denom 12755  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-hom 13180  df-cco 13181  df-rest 13275  df-topn 13276  df-topgen 13292  df-pt 13293  df-prds 13296  df-xrs 13351  df-0g 13352  df-gsum 13353  df-qtop 13358  df-imas 13359  df-xps 13361  df-mre 13436  df-mrc 13437  df-acs 13439  df-mnd 14315  df-submnd 14364  df-mulg 14440  df-cntz 14741  df-cmn 15039  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-lp 16816  df-perf 16817  df-cn 16905  df-cnp 16906  df-haus 16991  df-tx 17205  df-hmeo 17394  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-fm 17581  df-flim 17582  df-flf 17583  df-xms 17833  df-ms 17834  df-tms 17835  df-cncf 18330  df-limc 19164  df-dv 19165  df-log 19862  df-squarenn 26279  df-pell1qr 26280  df-pell14qr 26281  df-pell1234qr 26282  df-pellfund 26283  df-rmx 26340  df-rmy 26341
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