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Theorem jm2.17a 26962
Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17a  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem jm2.17a
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6080 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
0 ) )
2 oveq1 6079 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
a  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
32oveq2d 6088 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) )
41, 3breq12d 4217 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
0 )  <_  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) ) )
54imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ 0 )  <_  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
6 oveq2 6080 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b ) )
7 oveq1 6079 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
87oveq2d 6088 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
96, 8breq12d 4217 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
109imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
11 oveq2 6080 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) ) )
12 oveq1 6079 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )
1312oveq2d 6088 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1411, 13breq12d 4217 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 6080 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N ) )
17 oveq1 6079 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  (
a  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
1817oveq2d 6088 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )
1916, 18breq12d 4217 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) )
2019imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ N
)  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) ) )
21 1le1 9639 . . . . 5  |-  1  <_  1
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  1 )
23 2cn 10059 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
24 eluzelz 10485 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2524zcnd 10365 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  CC )
26 mulcl 9063 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
2723, 25, 26sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
28 ax-1cn 9037 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
29 subcl 9294 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
3027, 28, 29sylancl 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
3130exp0d 11505 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ 0 )  =  1 )
32 0p1e1 10082 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3332oveq2i 6083 . . . . 5  |-  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  ( A Yrm  1 )
34 rmy1 26930 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
3533, 34syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  1 )
3622, 31, 353brtr4d 4234 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ 0 )  <_ 
( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) )
37 2re 10058 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
38 eluzelre 10486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
3938adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
40 remulcl 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
4137, 39, 40sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  RR )
42 1re 9079 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
43 resubcl 9354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  RR )
4441, 42, 43sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  RR )
45 peano2nn0 10249 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
4645adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  NN0 )
4744, 46reexpcld 11528 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  e.  RR )
48473adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  e.  RR )
49 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
50 nn0z 10293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
5150adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  ZZ )
5251peano2zd 10367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  ZZ )
53 frmy 26914 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
5453fovcl 6166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
5554zred 10364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5649, 52, 55syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5756, 44remulcld 9105 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  e.  RR )
58573adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  e.  RR )
5952peano2zd 10367 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
6053fovcl 6166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
6160zred 10364 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
6249, 59, 61syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
63623adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
64303ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
65 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  b  e.  NN0 )
6664, 65expp1d 11512 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ) )
67 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  NN0 )
6844, 67reexpcld 11528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  e.  RR )
69 2nn 10122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
70 eluz2b2 10537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
7170simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
7271adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN )
73 nnmulcl 10012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
7469, 72, 73sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  NN )
75 nnm1nn0 10250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  NN0 )
76 nn0ge0 10236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ( 2  x.  A )  -  1 ) )
7774, 75, 763syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) )
7844, 77jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) ) )
7968, 56, 783jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) ) )
80793adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) ) ) )
81 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
82 lemul1a 9853 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  x.  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  <_  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )
8380, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
8466, 83eqbrtrd 4224 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
85 nn0cn 10220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
8685adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  CC )
87 pncan 9300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
8886, 28, 87sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
8988oveq2d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( A Yrm  b ) )
9053fovcl 6166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
9190zred 10364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
9249, 51, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  e.  RR )
9389, 92eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  e.  RR )
94 remulcl 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  e.  RR )
9556, 42, 94sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  e.  RR )
9641, 56remulcld 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  e.  RR )
97 nn0re 10219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
9897adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  RR )
9998lep1d 9931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  <_  ( b  +  1 ) )
100 lermy 26957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ  /\  ( b  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
b  <_  ( b  +  1 )  <->  ( A Yrm  b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
10149, 51, 52, 100syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  <_  (
b  +  1 )  <-> 
( A Yrm  b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
10299, 101mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
10356recnd 9103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  CC )
104103mulid1d 9094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
105102, 89, 1043brtr4d 4234 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )
10693, 95, 96, 105lesub2dd 9632 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )  <_  ( (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
10741recnd 9103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  CC )
10828a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  e.  CC )
109103, 107, 108subdid 9478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
110103, 107mulcomd 9098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
111110oveq1d 6087 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
112109, 111eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
113 rmyluc2 26938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
11449, 52, 113syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
115106, 112, 1143brtr4d 4234 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  <_ 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1161153adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
11748, 58, 63, 84, 116letrd 9216 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  <_ 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1181173exp 1152 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
119118a2d 24 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
1205, 10, 15, 20, 36, 119nn0ind 10355 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ N )  <_ 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) ) )
121120impcom 420 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280   NNcn 9989   2c2 10038   NN0cn0 10210   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   ^cexp 11370   Yrm crmy 26901
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  27025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-of 6296  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-ixp 7055  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-acn 7818  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-5 10050  df-6 10051  df-7 10052  df-8 10053  df-9 10054  df-10 10055  df-n0 10211  df-z 10272  df-dec 10372  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ioo 10909  df-ioc 10910  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-fl 11190  df-mod 11239  df-seq 11312  df-exp 11371  df-fac 11555  df-bc 11582  df-hash 11607  df-shft 11870  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-limsup 12253  df-clim 12270  df-rlim 12271  df-sum 12468  df-ef 12658  df-sin 12660  df-cos 12661  df-pi 12663  df-dvds 12841  df-gcd 12995  df-numer 13115  df-denom 13116  df-struct 13459  df-ndx 13460  df-slot 13461  df-base 13462  df-sets 13463  df-ress 13464  df-plusg 13530  df-mulr 13531  df-starv 13532  df-sca 13533  df-vsca 13534  df-tset 13536  df-ple 13537  df-ds 13539  df-unif 13540  df-hom 13541  df-cco 13542  df-rest 13638  df-topn 13639  df-topgen 13655  df-pt 13656  df-prds 13659  df-xrs 13714  df-0g 13715  df-gsum 13716  df-qtop 13721  df-imas 13722  df-xps 13724  df-mre 13799  df-mrc 13800  df-acs 13802  df-mnd 14678  df-submnd 14727  df-mulg 14803  df-cntz 15104  df-cmn 15402  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-cnfld 16692  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-topsp 16955  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lp 17188  df-perf 17189  df-cn 17279  df-cnp 17280  df-haus 17367  df-tx 17582  df-hmeo 17775  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-xms 18338  df-ms 18339  df-tms 18340  df-cncf 18896  df-limc 19741  df-dv 19742  df-log 20442  df-squarenn 26841  df-pell1qr 26842  df-pell14qr 26843  df-pell1234qr 26844  df-pellfund 26845  df-rmx 26902  df-rmy 26903
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