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Theorem jm2.17b 26447
Description: Weak form of the second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696, allowing induction to start lower. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17b  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem jm2.17b
StepHypRef Expression
1 oveq1 5826 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
a  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
21oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) )
3 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( 2  x.  A
) ^ a )  =  ( ( 2  x.  A ) ^
0 ) )
42, 3breq12d 4037 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
)  <->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
0 ) ) )
54imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ 0 ) ) ) )
6 oveq1 5826 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
76oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
8 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( 2  x.  A
) ^ a )  =  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) )
97, 8breq12d 4037 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
)  <->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) )
109imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ b
) ) ) )
11 oveq1 5826 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )
1211oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
13 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ a )  =  ( ( 2  x.  A ) ^
( b  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 4037 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
)  <->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
( b  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq1 5826 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  (
a  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
1716oveq2d 5835 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )
18 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( 2  x.  A
) ^ a )  =  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) )
1917, 18breq12d 4037 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
)  <->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) ) )
2019imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) ) )
21 1le1 9391 . . . 4  |-  1  <_  1
22 0p1e1 9834 . . . . . . 7  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2322oveq2i 5830 . . . . . 6  |-  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  ( A Yrm  1 )
24 rmy1 26414 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
2523, 24syl5eq 2328 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  1 )
26 2re 9810 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
27 eluzelre 10234 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
28 remulcl 8817 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
2926, 27, 28sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
3029recnd 8856 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
3130exp0d 11233 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2  x.  A ) ^ 0 )  =  1 )
3225, 31breq12d 4037 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ 0 )  <->  1  <_  1 ) )
3321, 32mpbiri 226 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ 0 ) )
34 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
35 nn0z 10041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
3635adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  ZZ )
3736peano2zd 10115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  ZZ )
38 rmyluc2 26422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
3934, 37, 38syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
40 rmxypos 26433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )
4140simprd 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A Yrm  b ) )
4241ancoms 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <_  ( A Yrm  b ) )
43 nn0re 9969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
4443adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  RR )
4544recnd 8856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  CC )
46 ax-1cn 8790 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
47 pncan 9052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
4845, 46, 47sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
4948oveq2d 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( A Yrm  b ) )
5042, 49breqtrrd 4050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) )
5127adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
5226, 51, 28sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  RR )
53 frmy 26398 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
5453fovcl 5910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
5554zred 10112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5634, 37, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5752, 56remulcld 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  e.  RR )
5853fovcl 5910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
5958zred 10112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
6034, 36, 59syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  e.  RR )
6149, 60eqeltrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  e.  RR )
6257, 61subge02d 9359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 0  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) )  <->  ( (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
6350, 62mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
6439, 63eqbrtrd 4044 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
65643adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
66 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  NN0 )
6752, 66reexpcld 11256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A ) ^ b
)  e.  RR )
68 2nn 9872 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
69 eluz2b2 10285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
7069simplbi 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
71 nnmulcl 9764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
7268, 70, 71sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
7372nngt0d 9784 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( 2  x.  A ) )
7473adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <  ( 2  x.  A ) )
75 lemul2 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A ) ^ b )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  A
) ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
b )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) ) )
7656, 67, 52, 74, 75syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
b )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) ) )
7776biimp3a 1283 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) )
7852recnd 8856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  CC )
7978, 66expp1d 11240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A
) ^ b )  x.  ( 2  x.  A ) ) )
8067recnd 8856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A ) ^ b
)  e.  CC )
8180, 78mulcomd 8851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A ) ^
b )  x.  (
2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) )
8279, 81eqtrd 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^
b ) ) )
83823adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( (
2  x.  A ) ^ ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  (
( 2  x.  A
) ^ b ) ) )
8477, 83breqtrrd 4050 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ ( b  +  1 ) ) )
8537peano2zd 10115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
8653fovcl 5910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
8786zred 10112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
8834, 85, 87syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
89 peano2nn0 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
9089adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  NN0 )
9152, 90reexpcld 11256 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) )  e.  RR )
92 letr 8909 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  /\  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ ( b  +  1 ) ) ) )
9388, 57, 91, 92syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  /\  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
( b  +  1 ) ) ) )
94933adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( (
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  /\  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ ( b  +  1 ) ) ) )
9565, 84, 94mp2and 662 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ ( b  +  1 ) ) )
96953exp 1152 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^
( b  +  1 ) ) ) ) )
9796a2d 25 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ b ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ (
b  +  1 ) ) ) ) )
985, 10, 15, 20, 33, 97nn0ind 10103 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  ( (
2  x.  A ) ^ N ) ) )
9998impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032   NNcn 9741   2c2 9790   NN0cn0 9960   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   ^cexp 11098   Xrm crmx 26384   Yrm crmy 26385
This theorem is referenced by:  jm2.17c  26448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-ef 12343  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-numer 12800  df-denom 12801  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-squarenn 26325  df-pell1qr 26326  df-pell14qr 26327  df-pell1234qr 26328  df-pellfund 26329  df-rmx 26386  df-rmy 26387
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