Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17c Unicode version

Theorem jm2.17c 27060
Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17c  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem jm2.17c
StepHypRef Expression
1 2re 9817 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
2 eluzelre 10241 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
4 remulcl 8824 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
51, 3, 4sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
6 nnz 10047 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
87peano2zd 10122 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
9 frmy 27010 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
109fovcl 5951 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  ZZ )
1110zred 10119 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
128, 11syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
135, 12remulcld 8865 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
14 nncn 9756 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1514adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
16 ax-1cn 8797 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
17 pncan 9059 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
1918oveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( A Yrm  N ) )
209fovcl 5951 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
2120zred 10119 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
226, 21sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
2319, 22eqeltrd 2359 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
2413, 23resubcld 9213 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
25 nnnn0 9974 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2625adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
275, 26reexpcld 11264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ N )  e.  RR )
285, 27remulcld 8865 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
29 rmy0 27025 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
31 nngt0 9777 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3231adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
33 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
34 0z 10037 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
3534a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
36 ltrmy 27050 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
3733, 35, 7, 36syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
3832, 37mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
3930, 38eqbrtrrd 4047 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
4039, 19breqtrrd 4051 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
4123, 13ltsubposd 9360 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  <  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) ) )
4240, 41mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  <  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) ) )
43 jm2.17b 27059 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
4425, 43sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
45 2nn 9879 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
46 eluz2b2 10292 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
4746simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
48 nnmulcl 9771 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
4945, 47, 48sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
5049nngt0d 9791 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( 2  x.  A ) )
5150adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( 2  x.  A
) )
52 lemul2 9611 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  A
) ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^ N )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) ) ) )
5312, 27, 5, 51, 52syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ N
)  <->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) ) )
5444, 53mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) ) )
5524, 13, 28, 42, 54ltletrd 8978 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  <  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
56 rmyluc2 27034 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
578, 56syldan 456 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
585recnd 8863 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  A )  e.  CC )
5958, 26expp1d 11248 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A ) ^ N )  x.  ( 2  x.  A
) ) )
6027recnd 8863 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ N )  e.  CC )
6160, 58mulcomd 8858 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A ) ^ N
)  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
6259, 61eqtrd 2317 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
6355, 57, 623brtr4d 4055 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    + caddc 8742    x. cmul 8744    < clt 8869    <_ cle 8870    - cmin 9039   NNcn 9748   2c2 9797   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   ^cexp 11106   Yrm crmy 26997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-numer 12808  df-denom 12809  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-squarenn 26937  df-pell1qr 26938  df-pell14qr 26939  df-pell1234qr 26940  df-pellfund 26941  df-rmx 26998  df-rmy 26999
  Copyright terms: Public domain W3C validator