Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17c Unicode version

Theorem jm2.17c 26925
Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17c  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem jm2.17c
StepHypRef Expression
1 2re 10033 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
2 eluzelre 10461 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
32adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
4 remulcl 9039 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
51, 3, 4sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
6 nnz 10267 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
87peano2zd 10342 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
9 frmy 26875 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
109fovcl 6142 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  ZZ )
1110zred 10339 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
128, 11syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
135, 12remulcld 9080 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
14 nncn 9972 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1514adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
16 ax-1cn 9012 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
17 pncan 9275 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
1918oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( A Yrm  N ) )
209fovcl 6142 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
2120zred 10339 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
226, 21sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
2319, 22eqeltrd 2486 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
2413, 23resubcld 9429 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
25 nnnn0 10192 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2625adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
275, 26reexpcld 11503 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ N )  e.  RR )
285, 27remulcld 9080 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
29 rmy0 26890 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
3029adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
31 nngt0 9993 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3231adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
33 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
34 0z 10257 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
3534a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
36 ltrmy 26915 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
3733, 35, 7, 36syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
3832, 37mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
3930, 38eqbrtrrd 4202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
4039, 19breqtrrd 4206 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
4123, 13ltsubposd 9576 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  <  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) ) )
4240, 41mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  <  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) ) )
43 jm2.17b 26924 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
4425, 43sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
45 2nn 10097 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
46 eluz2b2 10512 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
4746simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
48 nnmulcl 9987 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
4945, 47, 48sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
5049nngt0d 10007 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( 2  x.  A ) )
5150adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( 2  x.  A
) )
52 lemul2 9827 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  A
) ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^ N )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) ) ) )
5312, 27, 5, 51, 52syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ N
)  <->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) ) )
5444, 53mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) ) )
5524, 13, 28, 42, 54ltletrd 9194 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  <  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
56 rmyluc2 26899 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
578, 56syldan 457 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
585recnd 9078 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  A )  e.  CC )
5958, 26expp1d 11487 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A ) ^ N )  x.  ( 2  x.  A
) ) )
6027recnd 9078 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ N )  e.  CC )
6160, 58mulcomd 9073 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A ) ^ N
)  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
6259, 61eqtrd 2444 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
6355, 57, 623brtr4d 4210 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   NNcn 9964   2c2 10013   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ^cexp 11345   Yrm crmy 26862
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-numer 13090  df-denom 13091  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-squarenn 26802  df-pell1qr 26803  df-pell14qr 26804  df-pell1234qr 26805  df-pellfund 26806  df-rmx 26863  df-rmy 26864
  Copyright terms: Public domain W3C validator