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Theorem jm2.19 26454
Description: Lemma 2.19 of [JonesMatijasevic] p. 696. Transfer divisibility constraints between Y-values and their indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  N
) ) )

Proof of Theorem jm2.19
StepHypRef Expression
1 rmyeq0 26408 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =  0  <->  ( A Yrm  N
)  =  0 ) )
213adant2 979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =  0  <->  ( A Yrm  N
)  =  0 ) )
3 0dvds 12512 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
433ad2ant3 983 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
5 frmy 26367 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
65fovcl 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
763adant2 979 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
8 0dvds 12512 . . . . . 6  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  ->  ( 0  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  N
)  =  0 ) )
97, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  ||  ( A Yrm  N
)  <->  ( A Yrm  N )  =  0 ) )
102, 4, 93bitr4d 278 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  ||  N  <->  0  ||  ( A Yrm  N ) ) )
1110adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( 0  ||  N  <->  0 
||  ( A Yrm  N ) ) )
12 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
1312breq1d 4007 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( M  ||  N  <->  0 
||  N ) )
1412oveq2d 5808 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( A Yrm  M )  =  ( A Yrm  0 ) )
15 simpl1 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
16 rmy0 26382 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
1715, 16syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( A Yrm  0 )  =  0 )
1814, 17eqtrd 2290 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( A Yrm  M )  =  0 )
1918breq1d 4007 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <->  0  ||  ( A Yrm  N ) ) )
2011, 13, 193bitr4d 278 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm 
N ) ) )
215fovcl 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
22213adant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
23 dvds0 12507 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  ->  ( A Yrm  M )  ||  0 )
2422, 23syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  ||  0
)
25163ad2ant1 981 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
2624, 25breqtrrd 4023 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  0 ) )
27 oveq2 5800 . . . . . . 7  |-  ( ( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  ( A Yrm  0 ) )
2827breq2d 4009 . . . . . 6  |-  ( ( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  0 ) ) )
2926, 28syl5ibrcom 215 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
3029adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
31 zre 9996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
32313ad2ant3 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
3332ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR )
34 zcn 9997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
35343ad2ant2 982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
3635ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  M  e.  CC )
37 simplr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  M  =/=  0 )
3836, 37absrpcld 11896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  M )  e.  RR+ )
39 modlt 10948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( abs `  M )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  <  ( abs `  M ) )
4033, 38, 39syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  <  ( abs `  M ) )
41 simpll1 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
42 simpll3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  N  e.  ZZ )
43 simpll2 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  M  e.  ZZ )
44 nnabscl 11775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  M
)  e.  NN )
4543, 37, 44syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  M )  e.  NN )
4642, 45zmodcld 10957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  NN0 )
47 nn0abscl 11763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( abs `  M )  e. 
NN0 )
48473ad2ant2 982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  M )  e. 
NN0 )
4948ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  M )  e.  NN0 )
50 ltrmynn0 26403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  NN0  /\  ( abs `  M
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M ) )  <  ( abs `  M )  <->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) ) )
5141, 46, 49, 50syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  <  ( abs `  M )  <->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) ) )
5240, 51mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
5346nn0zd 10083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )
54 rmyabs 26413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) ) )
5541, 53, 54syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) ) )
5633, 38modcld 10944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  RR )
57 modge0 10947 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( abs `  M )  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
5833, 38, 57syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
5956, 58absidd 11871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )
6059oveq2d 5808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )
6155, 60eqtrd 2290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )
62 rmyabs 26413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
6341, 43, 62syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
6452, 61, 633brtr4d 4027 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  < 
( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )
655fovcl 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  e.  ZZ )
6641, 53, 65syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  e.  ZZ )
67 nn0abscl 11763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  e.  NN0 )
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  e. 
NN0 )
6968nn0red 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  e.  RR )
7022ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  M
)  e.  ZZ )
71 nn0abscl 11763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  e. 
NN0 )
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  e.  NN0 )
7372nn0red 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
7469, 73ltnled 8934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )  <  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  <->  -.  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  <_  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) ) )
7564, 74mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  -.  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  <_  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
76 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)
77 rmyeq0 26408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0  <-> 
( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  0 ) )
7841, 53, 77syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0  <-> 
( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  0 ) )
7978necon3bid 2456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0  <->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =/=  0 ) )
8076, 79mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =/=  0 )
81 dvdsleabs2 26445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =/=  0 )  ->  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  <_ 
( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) ) )
8270, 66, 80, 81syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  <_  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) ) )
8375, 82mtod 170 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  -.  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )
8483ex 425 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =/=  0  ->  -.  ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
8584necon4ad 2482 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0 ) )
8630, 85impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
87 simpl2 964 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  e.  ZZ )
88 simpl3 965 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  N  e.  ZZ )
89 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  =/=  0 )
90 dvdsabsmod0 26447 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0 ) )
9187, 88, 89, 90syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0 ) )
92 simpl1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9332adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  N  e.  RR )
94 zre 9996 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
95943ad2ant2 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
9695adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  e.  RR )
97 modabsdifz 26446 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )
9893, 96, 89, 97syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )
9998znegcld 10087 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )
100 jm2.19lem4 26453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  ( N  +  ( -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) ) ) ) )
10192, 87, 88, 99, 100syl121anc 1192 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) ) ) )
10232recnd 8829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
103102adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  N  e.  CC )
10435adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  e.  CC )
105104, 89absrpcld 11896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( abs `  M )  e.  RR+ )
10693, 105modcld 10944 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  RR )
107106recnd 8829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  CC )
108103, 107subcld 9125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  e.  CC )
109108, 104, 89divcld 9504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  CC )
110109, 104mulneg1d 9200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M )  =  -u ( ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M
)  x.  M ) )
111110oveq2d 5808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  +  ( -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  +  -u (
( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) )
112109, 104mulcld 8823 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M )  e.  CC )
113103, 112negsubd 9131 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  +  -u ( ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  -  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) ) )
114108, 104, 89divcan1d 9505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M )  =  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )
115114oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  -  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
116103, 107nncand 9130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
117115, 116eqtrd 2290 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
118111, 113, 1173eqtrrd 2295 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) )
119118oveq2d 5808 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) ) )
120119breq2d 4009 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) ) ) )
121101, 120bitr4d 249 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
12286, 91, 1213bitr4d 278 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  N
) ) )
12320, 122pm2.61dane 2499 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705    + caddc 8708    x. cmul 8710    < clt 8835    <_ cle 8836    - cmin 9005   -ucneg 9006    / cdiv 9391   NNcn 9714   2c2 9763   NN0cn0 9933   ZZcz 9992   ZZ>=cuz 10198   RR+crp 10322    mod cmo 10940   abscabs 11685    || cdivides 12494   Yrm crmy 26354
This theorem is referenced by:  jm2.20nn  26458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9934  df-z 9993  df-dec 10093  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-ioo 10627  df-ioc 10628  df-ico 10629  df-icc 10630  df-fz 10750  df-fzo 10838  df-fl 10892  df-mod 10941  df-seq 11014  df-exp 11072  df-fac 11256  df-bc 11283  df-hash 11305  df-shft 11528  df-cj 11550  df-re 11551  df-im 11552  df-sqr 11686  df-abs 11687  df-limsup 11911  df-clim 11928  df-rlim 11929  df-sum 12125  df-ef 12312  df-sin 12314  df-cos 12315  df-pi 12317  df-divides 12495  df-gcd 12649  df-numer 12769  df-denom 12770  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-starv 13186  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-tset 13190  df-ple 13191  df-ds 13193  df-hom 13195  df-cco 13196  df-rest 13290  df-topn 13291  df-topgen 13307  df-pt 13308  df-prds 13311  df-xrs 13366  df-0g 13367  df-gsum 13368  df-qtop 13373  df-imas 13374  df-xps 13376  df-mre 13451  df-mrc 13452  df-acs 13454  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-mulg 14455  df-cntz 14756  df-cmn 15054  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-cnfld 16341  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-topsp 16603  df-cld 16719  df-ntr 16720  df-cls 16721  df-nei 16798  df-lp 16831  df-perf 16832  df-cn 16920  df-cnp 16921  df-haus 17006  df-tx 17220  df-hmeo 17409  df-fbas 17483  df-fg 17484  df-fil 17504  df-fm 17596  df-flim 17597  df-flf 17598  df-xms 17848  df-ms 17849  df-tms 17850  df-cncf 18345  df-limc 19179  df-dv 19180  df-log 19877  df-squarenn 26294  df-pell1qr 26295  df-pell14qr 26296  df-pell1234qr 26297  df-pellfund 26298  df-rmx 26355  df-rmy 26356
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