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Theorem jm2.20nn 27193
Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.20nn  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  <->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M ) )

Proof of Theorem jm2.20nn
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 nnz 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
323ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
4 frmy 27102 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
54fovcl 5965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
61, 3, 5syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
76zcnd 10134 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  e.  CC )
98sqvald 11258 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10 zsqcl 11190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
116, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  e.  ZZ )
1211adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
13 frmx 27101 . . . . . . . . . . . 12  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1413fovcl 5965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
151, 3, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1615nn0zd 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
1716adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Xrm  N )  e.  ZZ )
187sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
20 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
2119, 20eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M ) )
22 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
23223ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
244fovcl 5965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
251, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
26 muldvds1 12569 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M )  ->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
276, 6, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M )  ->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm 
M )  ->  ( A Yrm 
N )  ||  ( A Yrm 
M ) ) )
2921, 28mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  ||  ( A Yrm  M ) )
30 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
313adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  e.  ZZ )
3223adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  M  e.  ZZ )
33 jm2.19 27189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  M  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  ||  M  <->  ( A Yrm  N )  ||  ( A Yrm 
M ) ) )
3529, 34mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  ||  M )
36 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  M  e.  NN )
37 simpl3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  e.  NN )
38 nndivdvds 12553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
3936, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
4035, 39mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  NN )
41 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  /  N )  e.  NN  ->  (
( M  /  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
4240, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  -  1 )  e.  NN0 )
43 zexpcl 11134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
4417, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4540nnzd 10132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  ZZ )
466adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  e.  ZZ )
4745, 46zmulcld 10139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )
4825adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
49 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
50493ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
51 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
52513ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
53 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
54533ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
5550, 52, 54divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( M  /  N ) )  =  M )
5655oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
5756, 25eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  e.  ZZ )
5857adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  e.  ZZ )
5944, 46zmulcld 10139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
6045, 59zmulcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
6158, 60zsubcld 10138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )
62 3nn0 9999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
6362a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  3  e.  NN0 )
64 zexpcl 11134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  3  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
656, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
6665adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ )
67 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
6867a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
6962nn0zi 10064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  ZZ
70 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
71 3re 9833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR
72 2lt3 9903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  3
7370, 71, 72ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <_  3
74 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
7574eluz1i 10253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
7669, 73, 75mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
7776a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
78 dvdsexp 12600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0  /\  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )
796, 68, 77, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )
8079adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )
81 jm2.23 27192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
8230, 31, 40, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
83 dvdstr 12578 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8483imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
8512, 66, 61, 80, 82, 84syl32anc 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
86 dvds2sub 12577 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  M )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) ) )
8786imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8812, 48, 61, 20, 85, 87syl32anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8955adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( M  /  N ) )  =  M )
9089oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
9190oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
9291oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
9325zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
9493adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  CC )
9560zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  CC )
9694, 95nncand 9178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
9745zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  CC )
9844zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  e.  CC )
9997, 98, 8mul12d 9037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10096, 99eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10192, 100eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10288, 101breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
103 gcdcom 12715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) ) )
1046, 16, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) ) )
105 jm2.19lem1 27185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) )  =  1 )
1061, 3, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) )  =  1 )
107104, 106eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1 )
108107adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1 )
10967a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
2  e.  NN0 )
110 rpexp12i 12817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( 2  e.  NN0  /\  ( ( M  /  N )  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) ) )  =  1 ) )
11146, 17, 109, 42, 110syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1  ->  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) ) )  =  1 ) )
112108, 111mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) ) )  =  1 )
113 coprmdvds 12797 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
114113imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  gcd  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) ) )  =  1 ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )
11512, 44, 47, 102, 112, 114syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )
1169, 115eqbrtrrd 4061 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
117 rmy0 27117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
1181173ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
119 nngt0 9791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1201193ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
121 0z 10051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
122121a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
123 ltrmy 27142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
1241, 122, 3, 123syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
125120, 124mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
126118, 125eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
127 elnnz 10050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  <->  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  0  < 
( A Yrm  N ) ) )
1286, 126, 127sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  NN )
129 nnne0 9794 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  ->  ( A Yrm  N )  =/=  0 )
130128, 129syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  =/=  0
)
131130adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  =/=  0 )
132 dvdsmulcr 12574 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
13346, 45, 46, 131, 132syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
134116, 133mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  ||  ( M  /  N
) )
13554adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  =/=  0 )
136 dvdscmulr 12573 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  ( N  x.  ( M  /  N
) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
13746, 45, 31, 135, 136syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  ( N  x.  ( M  /  N
) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
138134, 137mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( A Yrm 
N ) )  ||  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )
139138, 89breqtrd 4063 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( A Yrm 
N ) )  ||  M )
14011adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
1413, 6zmulcld 10139 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ )
1424fovcl 5965 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
1431, 141, 142syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )
144143adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
14525adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  M
)  e.  ZZ )
146 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  ->  ( ( A Yrm  N )  -  1 )  e. 
NN0 )
147128, 146syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  - 
1 )  e.  NN0 )
148 zexpcl 11134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N )  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
14916, 147, 148syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
150 dvdsmul2 12567 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
151149, 11, 150syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
15218oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
153149zcnd 10134 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  CC )
154153, 7, 7mul12d 9037 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
155152, 154eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
156151, 155breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
157149, 6zmulcld 10139 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
1586, 157zmulcld 10139 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )
159143, 158zsubcld 10138 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )
160 jm2.23 27192 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  e.  NN )  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( A Yrm  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
1611, 3, 128, 160syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
162 dvdstr 12578 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
163162imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
16411, 65, 159, 79, 161, 163syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
165 dvdssub2 12582 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  <->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
16611, 143, 158, 164, 165syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  <->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
167156, 166mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
168167adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
169 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M )
170 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
171141adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
17223adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  M  e.  ZZ )
173 jm2.19 27189 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  M  <->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) ) )
174170, 171, 172, 173syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M  <->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) 
||  ( A Yrm  M ) ) )
175169, 174mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) )
176 dvdstr 12578 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) ) )
177176imp 418 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
178140, 144, 145, 168, 175, 177syl32anc 1190 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
179139, 178impbida 805 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  <->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ^cexp 11120    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   Xrm crmx 27088   Yrm crmy 27089
This theorem is referenced by:  jm2.27a  27201  jm2.27c  27203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-numer 12822  df-denom 12823  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-squarenn 27029  df-pell1qr 27030  df-pell14qr 27031  df-pell1234qr 27032  df-pellfund 27033  df-rmx 27090  df-rmy 27091
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