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Theorem jm2.23 26751
Description: Lemma for jm2.20nn 26752. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.23  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.23
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11231 . . . . . 6  |-  ( 3 ... J )  e. 
Fin
2 ssrab2 3364 . . . . . 6  |-  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 3 ... J
)
3 ssfi 7258 . . . . . 6  |-  ( ( ( 3 ... J
)  e.  Fin  /\  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 3 ... J ) )  ->  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 654 . . . . 5  |-  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
6 nnnn0 10153 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  NN  ->  J  e.  NN0 )
763ad2ant3 980 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  J  e.  NN0 )
82sseli 3280 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ( 3 ... J
) )
9 elfzelz 10984 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ZZ )
11 bccl 11533 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  a
)  e.  NN0 )
127, 10, 11syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e. 
NN0 )
1312nn0zd 10298 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e.  ZZ )
14 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
15 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  N  e.  ZZ )
16 frmx 26660 . . . . . . . . . 10  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1716fovcl 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1814, 15, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1918nn0zd 10298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
208adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  ( 3 ... J
) )
21 fznn0sub 11010 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
23 zexpcl 11316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( J  -  a )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  ZZ )
2419, 22, 23syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  ZZ )
25 rmspecnonsq 26654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
2625eldifad 3268 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
2726nnzd 10299 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
28273ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
29 breq2 4150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  a  ->  (
2  ||  b  <->  2  ||  a ) )
3029notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  a  ->  ( -.  2  ||  b  <->  -.  2  ||  a ) )
3130elrab 3028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  <->  ( a  e.  ( 3 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
3231simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  a )
33 1z 10236 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  1  e.  ZZ )
35 0z 10218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
36 2nn 10058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
37 1lt2 10067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
3835, 36, 373pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )
39 2z 10237 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
40 dvds0 12785 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  ||  0
42 ndvdsp1 12849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  ||  0  ->  -.  2  ||  ( 0  +  1 ) ) )
4338, 41, 42mp2 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  ||  ( 0  +  1 )
44 0p1e1 10018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4544breq2i 4154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 
||  ( 0  +  1 )  <->  2  ||  1 )
4643, 45mtbi 290 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  2  ||  1
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  1 )
48 omoe 13106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  a
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  (
a  -  1 ) )
4910, 32, 34, 47, 48syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  ||  ( a  -  1 ) )
5039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  ZZ )
51 2ne0 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  =/=  0 )
53 peano2zm 10245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ZZ  ->  (
a  -  1 )  e.  ZZ )
5410, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  ZZ )
55 dvdsval2 12775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
a  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
a  -  1 )  <-> 
( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
5650, 52, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
2  ||  ( a  -  1 )  <->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5749, 56mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
5854zred 10300 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  RR )
59 0re 9017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  e.  RR )
61 3re 9996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  3  e.  RR )
639zred 10300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  RR )
64 3pos 10009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  3
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <  3 )
66 elfzle1 10985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  3  <_  a )
6760, 62, 63, 65, 66ltletrd 9155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <  a )
68 elnnz 10217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  <->  ( a  e.  ZZ  /\  0  < 
a ) )
699, 67, 68sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  NN )
70 nnm1nn0 10186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
7271nn0ge0d 10202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <_  ( a  -  1 ) )
738, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( a  -  1 ) )
74 2re 9994 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  RR )
76 2pos 10007 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <  2 )
78 divge0 9804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( a  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
a  -  1 )  /  2 ) )
7958, 73, 75, 77, 78syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )
80 elnn0z 10219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) )
8157, 79, 80sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
82 zexpcl 11316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8328, 81, 82syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
84 frmy 26661 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
8584fovcl 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
8614, 15, 85syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
87 elfzel1 10983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  3  e.  ZZ )
889, 87zsubcld 10305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
a  -  3 )  e.  ZZ )
89 subge0 9466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
a  -  3 )  <->  3  <_  a )
)
9063, 61, 89sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
0  <_  ( a  -  3 )  <->  3  <_  a ) )
9166, 90mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <_  ( a  -  3 ) )
92 elnn0z 10219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  -  3 )  e.  NN0  <->  ( ( a  -  3 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( a  -  3 ) ) )
9388, 91, 92sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
a  -  3 )  e.  NN0 )
948, 93syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  3 )  e.  NN0 )
9594adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
a  -  3 )  e.  NN0 )
96 zexpcl 11316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( a  -  3 )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  ZZ )
9786, 95, 96syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  ZZ )
9883, 97zmulcld 10306 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) )  e.  ZZ )
9924, 98zmulcld 10306 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  e.  ZZ )
10013, 99zmulcld 10306 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
1015, 100fsumzcl 12449 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
102853adant3 977 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
103 3nn0 10164 . . . 4  |-  3  e.  NN0
104 zexpcl 11316 . . . 4  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  3  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
105102, 103, 104sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
106 dvdsmul2 12792 . . 3  |-  ( (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
107101, 105, 106syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
108 jm2.22 26750 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
1096, 108syl3an3 1219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
110 1lt3 10069 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  3
111 1re 9016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
112111, 61ltnlei 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  <  3  <->  -.  3  <_  1 )
113110, 112mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  3  <_  1
114 elfzle1 10985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( 3 ... J )  ->  3  <_  1 )
115113, 114mto 169 . . . . . . . . . 10  |-  -.  1  e.  ( 3 ... J
)
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  -.  1  e.  ( 3 ... J ) )
117116intnanrd 884 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  -.  ( 1  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) )
118 breq2 4150 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  1  ->  (
2  ||  b  <->  2  ||  1 ) )
119118notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  1  ->  ( -.  2  ||  b  <->  -.  2  ||  1 ) )
120119elrab 3028 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  <->  ( 1  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) )
121117, 120sylnibr 297 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  -.  1  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b } )
122 disjsn 3804 . . . . . . 7  |-  ( ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  i^i  { 1 } )  =  (/)  <->  -.  1  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b } )
123121, 122sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  i^i  { 1 } )  =  (/) )
124 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =  1 )  ->  a  =  1 )
125124olcd 383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =  1 )  ->  ( ( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
126 elfznn0 11008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  a  e.  NN0 )
127126adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  a  e.  NN0 )
128127ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  e.  NN0 )
129 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  ->  -.  2  ||  a )
130 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  =/=  1 )
131 elnn1uz2 10477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN  <->  ( a  =  1  \/  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
132 df-ne 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =/=  1  <->  -.  a  =  1 )
133132biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =/=  1  ->  -.  a  =  1 )
1341333ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  ->  -.  a  =  1
)
135134pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  =  1  ->  3  <_  a
) )
136135imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
1 )  ->  3  <_  a )
137 uzp1 10444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( a  =  2  \/  a  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
138 dvdsmul1 12791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  1 ) )
13939, 33, 138mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  ||  ( 2  x.  1 )
140 2cn 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  CC
141140mulid1i 9018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
142139, 141breqtri 4169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  ||  2
143 breq2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  =  2  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  2 ) )
144143adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  2 ) )
145142, 144mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  2  ||  a )
146 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  -.  2  ||  a )
147145, 146pm2.21dd 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  3  <_  a )
148 eluzle 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  a )
149 2p1e3 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  +  1 )  =  3
150149fveq2i 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  3 )
151148, 150eleq2s 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  (
2  +  1 ) )  ->  3  <_  a )
152151adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  3  <_  a )
153147, 152jaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  ( a  =  2  \/  a  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )  ->  3  <_  a )
154137, 153sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  3  <_  a )
155136, 154jaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  ( a  =  1  \/  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  3  <_  a )
156131, 155sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  e.  NN )  ->  3  <_ 
a )
157 breq2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  0  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  0 ) )
15841, 157mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  0  ->  2  ||  a )
159158adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
0 )  ->  2  ||  a )
160 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
0 )  ->  -.  2  ||  a )
161159, 160pm2.21dd 101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
0 )  ->  3  <_  a )
162 elnn0 10148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  NN0  <->  ( a  e.  NN  \/  a  =  0 ) )
163162biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( a  e.  NN  \/  a  =  0 ) )
1641633ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  e.  NN  \/  a  =  0
) )
165156, 161, 164mpjaodan 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  -> 
3  <_  a )
166128, 129, 130, 165syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
3  <_  a )
167 elfzle2 10986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  a  <_  J )
168167adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  a  <_  J
)
169168ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  <_  J )
170 elfzelz 10984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  a  e.  ZZ )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  a  e.  ZZ )
172171ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  e.  ZZ )
173103nn0zi 10231 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  ZZ
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
3  e.  ZZ )
175 nnz 10228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  NN  ->  J  e.  ZZ )
1761753ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  J  e.  ZZ )
177176ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  ->  J  e.  ZZ )
178 elfz 10974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
a  e.  ( 3 ... J )  <->  ( 3  <_  a  /\  a  <_  J ) ) )
179172, 174, 177, 178syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  e.  ( 3 ... J )  <-> 
( 3  <_  a  /\  a  <_  J ) ) )
180166, 169, 179mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  e.  ( 3 ... J ) )
181180, 129jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )
182181orcd 382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
( ( a  e.  ( 3 ... J
)  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
183125, 182pm2.61dane 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  (
a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )  ->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
184 nn0uz 10445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
185103, 184eleqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
186 fzss1 11016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 3 ... J )  C_  ( 0 ... J
) )
187185, 186ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3 ... J )  C_  ( 0 ... J
)
188187sseli 3280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  ( 0 ... J
) )
189188anim1i 552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
190189adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )  ->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
191 0le1 9476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
0  <_  1 )
193 nnge1 9951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  NN  ->  1  <_  J )
1941933ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  1  <_  J )
195194adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
1  <_  J )
19633a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
19735a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
0  e.  ZZ )
198176adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  ->  J  e.  ZZ )
199 elfz 10974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... J )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  J ) ) )
200196, 197, 198, 199syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
( 1  e.  ( 0 ... J )  <-> 
( 0  <_  1  /\  1  <_  J ) ) )
201192, 195, 200mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
1  e.  ( 0 ... J ) )
20246a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  ->  -.  2  ||  1 )
203 eleq1 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  (
a  e.  ( 0 ... J )  <->  1  e.  ( 0 ... J
) ) )
204 breq2 4150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  1  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  1 ) )
205204notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  ( -.  2  ||  a  <->  -.  2  ||  1 ) )
206203, 205anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  <->  ( 1  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) ) )
207206adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
( ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a )  <->  ( 1  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) ) )
208201, 202, 207mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )
209190, 208jaodan 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  (
( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )  ->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
210183, 209impbida 806 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  <->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) ) )
21130elrab 3028 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  <->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
212 elun 3424 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } )  <->  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  \/  a  e.  { 1 } ) )
213 elsn 3765 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { 1 }  <-> 
a  =  1 )
21431, 213orbi12i 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  \/  a  e.  { 1 } )  <->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
215212, 214bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } )  <->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
216210, 211, 2153bitr4g 280 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  <->  a  e.  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } ) ) )
217216eqrdv 2378 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  =  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } ) )
218 fzfi 11231 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... J )  e. 
Fin
219 ssrab2 3364 . . . . . . . 8  |-  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 0 ... J
)
220 ssfi 7258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... J
)  e.  Fin  /\  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 0 ... J ) )  ->  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
221218, 219, 220mp2an 654 . . . . . . 7  |-  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin
222221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
223219sseli 3280 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ( 0 ... J
) )
224223, 170syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ZZ )
2257, 224, 11syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e. 
NN0 )
226225nn0cnd 10201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e.  CC )
227173adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
228227nn0cnd 10201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
229228adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
230223adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  ( 0 ... J
) )
231 fznn0sub 11010 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
232230, 231syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
233229, 232expcld 11443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  CC )
234102zcnd 10301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
235223, 126syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  NN0 )
236 expcl 11319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  a  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
a )  e.  CC )
237234, 235, 236syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
a )  e.  CC )
238 rmspecpos 26663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
239238rpcnd 10575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
2402393ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
241211simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  a )
24233a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  1  e.  ZZ )
24346a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  1 )
244224, 241, 242, 243, 48syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  ||  ( a  -  1 ) )
24539a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  ZZ )
24651a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  =/=  0 )
247224, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  ZZ )
248245, 246, 247, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
2  ||  ( a  -  1 )  <->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
249244, 248mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
250247zred 10300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  RR )
251158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  (
a  =  0  -> 
2  ||  a )
)
252251con3and 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  -.  a  = 
0 )
253211, 252sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  a  =  0 )
254235, 163syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  e.  NN  \/  a  =  0 ) )
255 orel2 373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  a  =  0  -> 
( ( a  e.  NN  \/  a  =  0 )  ->  a  e.  NN ) )
256253, 254, 255sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  NN )
257256, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
258257nn0ge0d 10202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( a  -  1 ) )
25974a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  RR )
26076a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <  2 )
261250, 258, 259, 260, 78syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )
262249, 261, 80sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
263 expcl 11319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
264240, 262, 263syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
265237, 264mulcld 9034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
266233, 265mulcld 9034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) )  e.  CC )
267226, 266mulcld 9034 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
268123, 217, 222, 267fsumsplit 12453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  +  sum_ a  e.  { 1 }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
269 expcl 11319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  3  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  CC )
270234, 103, 269sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  CC )
271100zcnd 10301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  e.  CC )
2725, 270, 271fsummulc1 12488 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
27312nn0cnd 10201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e.  CC )
274228adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
275274, 22expcld 11443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  CC )
276240, 81, 263syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
277 expcl 11319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  ( a  -  3 )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  CC )
278234, 94, 277syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  CC )
279276, 278mulcld 9034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) )  e.  CC )
280275, 279mulcld 9034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  e.  CC )
281270adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  CC )
282273, 280, 281mulassd 9037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( J  _C  a )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( J  _C  a
)  x.  ( ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) ) )
283275, 279, 281mulassd 9037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) ) )
284276, 278, 281mulassd 9037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) ) )
285278, 281mulcld 9034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  e.  CC )
286276, 285mulcomd 9035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) )
287234adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
288103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  3  e.  NN0 )
289287, 288, 95expaddd 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( ( a  - 
3 )  +  3 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
29010adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  ZZ )
291290zcnd 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  CC )
292 3cn 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  CC
293 npcan 9239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( a  - 
3 )  +  3 )  =  a )
294291, 292, 293sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( a  -  3 )  +  3 )  =  a )
295294oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( ( a  - 
3 )  +  3 ) )  =  ( ( A Yrm  N ) ^
a ) )
296289, 295eqtr3d 2414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( A Yrm  N ) ^ a ) )
297296oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
298284, 286, 2973eqtrd 2416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
299298oveq2d 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
300283, 299eqtrd 2412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
301300oveq2d 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
302282, 301eqtrd 2412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( J  _C  a )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
303302sumeq2dv 12417 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
304272, 303eqtr2d 2413 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) ) )
305 1nn 9936 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
306 bccl 11533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  1
)  e.  NN0 )
3076, 33, 306sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  _C  1 )  e. 
NN0 )
308307nn0cnd 10201 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  _C  1 )  e.  CC )
3093083ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  _C  1 )  e.  CC )
310 nnm1nn0 10186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  -  1 )  e.  NN0 )
3113103ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  -  1 )  e.  NN0 )
312228, 311expcld 11443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  e.  CC )
313 1nn0 10162 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
314 expcl 11319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  1  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
1 )  e.  CC )
315234, 313, 314sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
1 )  e.  CC )
316 1m1e0 9993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
317316oveq1i 6023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  =  ( 0  /  2
)
318140, 51div0i 9673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  /  2 )  =  0
319317, 318eqtri 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  =  0
320 0nn0 10161 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
321319, 320eqeltri 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0
322 expcl 11319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  -  1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
323240, 321, 322sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
324315, 323mulcld 9034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
325312, 324mulcld 9034 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) )  e.  CC )
326309, 325mulcld 9034 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( J  _C  1
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
327 oveq2 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  ( J  _C  a )  =  ( J  _C  1
) )
328 oveq2 6021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  ( J  -  a )  =  ( J  - 
1 ) )
329328oveq2d 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  =  ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) ) )
330 oveq2 6021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Yrm  N ) ^
a )  =  ( ( A Yrm  N ) ^
1 ) )
331 oveq1 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  (
a  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
332331oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) )
333332oveq2d 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) )
334330, 333oveq12d 6031 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) )
335329, 334oveq12d 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
1 )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
336327, 335oveq12d 6031 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
337336sumsn 12454 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ a  e.  {
1 }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) )
338305, 326, 337sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { 1 }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
339304, 338oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  +  sum_ a  e.  {
1 }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
340109, 268, 3393eqtrd 2416 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  ( ( sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) ) )
341 bcn1 11524 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  NN0  ->  ( J  _C  1 )  =  J )
3427, 341syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  _C  1 )  =  J )
343342eqcomd 2385 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  J  =  ( J  _C  1 ) )
344234exp1d 11438 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
1 )  =  ( A Yrm  N ) )
345319a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( 1  -  1 )  /  2 )  =  0 )
346345oveq2d 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
0 ) )
347240exp0d 11437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ 0 )  =  1 )
348346, 347eqtrd 2412 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) )  =  1 )
349344, 348oveq12d 6031 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  1 ) )
350234mulid1d 9031 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  1 )  =  ( A Yrm  N ) )
351349, 350eqtr2d 2413 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) )
352351oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
1 )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
353343, 352oveq12d 6031 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  x.  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
354340, 353oveq12d 6031 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) )  -  (
( J  _C  1
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) )
3555, 271fsumcl 12447 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  e.  CC )
356355, 270mulcld 9034 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  e.  CC )
357356, 326pncand 9337 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) )  -  (
( J  _C  1
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
358354, 357eqtrd 2412 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) ) )
359107, 358breqtrrd 4172 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   {crab 2646    u. cun 3254    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   {csn 3750   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216    / cdiv 9602   NNcn 9925   2c2 9974   3c3 9975   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413   ...cfz 10968   ^cexp 11302    _C cbc 11513   sum_csu 12399    || cdivides 12772  ◻NNcsquarenn 26583   Xrm crmx 26647   Yrm crmy 26648
This theorem is referenced by:  jm2.20nn  26752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-omul 6658  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-acn 7755  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-bc 11514  df-hash 11539  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-ef 12590  df-sin 12592  df-cos 12593  df-pi 12595  df-dvds 12773  df-gcd 12927  df-prm 13000  df-numer 13047  df-denom 13048  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lp 17116  df-perf 17117  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-limc 19613  df-dv 19614  df-log 20314  df-squarenn 26588  df-pell1qr 26589  df-pell14qr 26590  df-pell1234qr 26591  df-pellfund 26592  df-rmx 26649  df-rmy 26650
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