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Theorem jm2.24 26449
Description: Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 extended to  ZZ. Could be eliminated with a more careful proof of jm2.26lem3 26493. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.24  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )

Proof of Theorem jm2.24
StepHypRef Expression
1 simpll 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
2 peano2zm 10057 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
32ad2antlr 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( N  - 
1 )  e.  ZZ )
4 frmy 26398 . . . . . . 7  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
54fovcl 5910 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
61, 3, 5syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
76zred 10112 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
84fovcl 5910 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
98zred 10112 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
109adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  N )  e.  RR )
117, 10readdcld 8857 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
12 0re 8833 . . . 4  |-  0  e.  RR
1312a1i 12 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
14 frmx 26397 . . . . . 6  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1514fovcl 5910 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1615adantr 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Xrm  N )  e.  NN0 )
1716nn0red 10014 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Xrm  N )  e.  RR )
18 znegcl 10050 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
1918ad2antlr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u N  e.  ZZ )
2019peano2zd 10115 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )
214fovcl 5910 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  ZZ )
221, 20, 21syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  ZZ )
2322zred 10112 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  RR )
244fovcl 5910 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u N )  e.  ZZ )
251, 19, 24syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u N
)  e.  ZZ )
2625zred 10112 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u N
)  e.  RR )
27 rmy0 26413 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
2827ad2antrr 709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
29 simpr 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  N  <_  0
)
30 zre 10023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3130ad2antlr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  N  e.  RR )
3231le0neg1d 9339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( N  <_ 
0  <->  0  <_  -u N
) )
3329, 32mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <_  -u N
)
34 0z 10030 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
3534a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  e.  ZZ )
36 zleltp1 10063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  -u N  <->  0  <  ( -u N  +  1 ) ) )
3735, 19, 36syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( 0  <_  -u N  <->  0  <  ( -u N  +  1 ) ) )
3833, 37mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  ( -u N  +  1 ) )
39 ltrmy 26438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 0  <  ( -u N  +  1 )  <-> 
( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( -u N  +  1 ) ) ) )
401, 35, 20, 39syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( 0  < 
( -u N  +  1 )  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) ) ) )
4138, 40mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) ) )
4228, 41eqbrtrrd 4046 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  ( A Yrm  ( -u N  + 
1 ) ) )
43 lermy 26441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  -u N  <->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  -u N ) ) )
441, 35, 19, 43syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( 0  <_  -u N  <->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  -u N
) ) )
4533, 44mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  -u N
) )
4628, 45eqbrtrrd 4046 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <_  ( A Yrm  -u N ) )
47 addgtge0 9257 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  -u N )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( A Yrm  (
-u N  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  -u N ) ) )  ->  0  <  ( ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N
) ) )
4823, 26, 42, 46, 47syl22anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  (
( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N
) ) )
497recnd 8856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
5010recnd 8856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  N )  e.  CC )
5149, 50negdid 9165 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  =  (
-u ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  -u ( A Yrm  N ) ) )
52 rmyneg 26412 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  -u ( N  - 
1 ) )  = 
-u ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
531, 3, 52syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  =  -u ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
54 rmyneg 26412 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u N )  =  -u ( A Yrm  N ) )
5554adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u N
)  =  -u ( A Yrm 
N ) )
5653, 55oveq12d 5837 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N ) )  =  ( -u ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  -u ( A Yrm  N ) ) )
57 zcn 10024 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
5857ad2antlr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  N  e.  CC )
59 ax-1cn 8790 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
60 negsubdi 9098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  - 
1 )  =  (
-u N  +  1 ) )
6158, 59, 60sylancl 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u ( N  - 
1 )  =  (
-u N  +  1 ) )
6261oveq2d 5835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  =  ( A Yrm  (
-u N  +  1 ) ) )
6362oveq1d 5834 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N ) )  =  ( ( A Yrm  (
-u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N ) ) )
6451, 56, 633eqtr2d 2322 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N
) ) )
6548, 64breqtrrd 4050 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  -u (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6611lt0neg1d 9337 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  0  <->  0  <  -u (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6765, 66mpbird 225 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  0
)
6816nn0ge0d 10016 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <_  ( A Xrm 
N ) )
6911, 13, 17, 67, 68ltletrd 8971 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm 
N ) )
70 simpll 733 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  0  <  N )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
71 elnnz 10029 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
7271biimpri 199 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  ->  N  e.  NN )
7372adantll 697 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  0  <  N )  ->  N  e.  NN )
74 jm2.24nn 26445 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
7570, 73, 74syl2anc 645 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  0  <  N )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm 
N ) )
7630adantl 454 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
77 lelttric 8922 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( N  <_  0  \/  0  <  N ) )
7876, 12, 77sylancl 646 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  0  \/  0  <  N ) )
7969, 75, 78mpjaodan 764 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032   -ucneg 9033   NNcn 9741   2c2 9790   NN0cn0 9960   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   Xrm crmx 26384   Yrm crmy 26385
This theorem is referenced by:  jm2.26lem3  26493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-ef 12343  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-numer 12800  df-denom 12801  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-squarenn 26325  df-pell1qr 26326  df-pell14qr 26327  df-pell1234qr 26328  df-pellfund 26329  df-rmx 26386  df-rmy 26387
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