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Theorem jm2.24 26960
Description: Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 extended to  ZZ. Could be eliminated with a more careful proof of jm2.26lem3 27004. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.24  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )

Proof of Theorem jm2.24
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
2 peano2zm 10304 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
32ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( N  - 
1 )  e.  ZZ )
4 frmy 26909 . . . . . . 7  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
54fovcl 6161 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
61, 3, 5syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
76zred 10359 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
84fovcl 6161 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
98zred 10359 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
109adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  N )  e.  RR )
117, 10readdcld 9099 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
12 0re 9075 . . . 4  |-  0  e.  RR
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
14 frmx 26908 . . . . . 6  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1514fovcl 6161 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1615adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Xrm  N )  e.  NN0 )
1716nn0red 10259 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Xrm  N )  e.  RR )
18 znegcl 10297 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
1918ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u N  e.  ZZ )
2019peano2zd 10362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )
214fovcl 6161 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  ZZ )
221, 20, 21syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  ZZ )
2322zred 10359 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  RR )
244fovcl 6161 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u N )  e.  ZZ )
251, 19, 24syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u N
)  e.  ZZ )
2625zred 10359 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u N
)  e.  RR )
27 rmy0 26924 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
2827ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
29 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  N  <_  0
)
30 zre 10270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3130ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  N  e.  RR )
3231le0neg1d 9582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( N  <_ 
0  <->  0  <_  -u N
) )
3329, 32mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <_  -u N
)
34 0z 10277 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  e.  ZZ )
36 zleltp1 10310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  -u N  <->  0  <  ( -u N  +  1 ) ) )
3735, 19, 36syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( 0  <_  -u N  <->  0  <  ( -u N  +  1 ) ) )
3833, 37mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  ( -u N  +  1 ) )
39 ltrmy 26949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 0  <  ( -u N  +  1 )  <-> 
( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( -u N  +  1 ) ) ) )
401, 35, 20, 39syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( 0  < 
( -u N  +  1 )  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) ) ) )
4138, 40mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) ) )
4228, 41eqbrtrrd 4221 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  ( A Yrm  ( -u N  + 
1 ) ) )
43 lermy 26952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  -u N  <->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  -u N ) ) )
441, 35, 19, 43syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( 0  <_  -u N  <->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  -u N
) ) )
4533, 44mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  -u N
) )
4628, 45eqbrtrrd 4221 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <_  ( A Yrm  -u N ) )
47 addgtge0 9500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  -u N )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( A Yrm  (
-u N  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  -u N ) ) )  ->  0  <  ( ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N
) ) )
4823, 26, 42, 46, 47syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  (
( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N
) ) )
497recnd 9098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
5010recnd 9098 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  N )  e.  CC )
5149, 50negdid 9408 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  =  (
-u ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  -u ( A Yrm  N ) ) )
52 rmyneg 26923 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  -u ( N  - 
1 ) )  = 
-u ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
531, 3, 52syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  =  -u ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
54 rmyneg 26923 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u N )  =  -u ( A Yrm  N ) )
5554adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u N
)  =  -u ( A Yrm 
N ) )
5653, 55oveq12d 6085 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N ) )  =  ( -u ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  -u ( A Yrm  N ) ) )
57 zcn 10271 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
5857ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  N  e.  CC )
59 ax-1cn 9032 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
60 negsubdi 9341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  - 
1 )  =  (
-u N  +  1 ) )
6158, 59, 60sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u ( N  - 
1 )  =  (
-u N  +  1 ) )
6261oveq2d 6083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  =  ( A Yrm  (
-u N  +  1 ) ) )
6362oveq1d 6082 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N ) )  =  ( ( A Yrm  (
-u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N ) ) )
6451, 56, 633eqtr2d 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N
) ) )
6548, 64breqtrrd 4225 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  -u (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6611lt0neg1d 9580 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  0  <->  0  <  -u (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6765, 66mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  0
)
6816nn0ge0d 10261 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <_  ( A Xrm 
N ) )
6911, 13, 17, 67, 68ltletrd 9214 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm 
N ) )
70 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  0  <  N )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
71 elnnz 10276 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
7271biimpri 198 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  ->  N  e.  NN )
7372adantll 695 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  0  <  N )  ->  N  e.  NN )
74 jm2.24nn 26956 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
7570, 73, 74syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  0  <  N )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm 
N ) )
7630adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
77 lelttric 9164 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( N  <_  0  \/  0  <  N ) )
7876, 12, 77sylancl 644 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  0  \/  0  <  N ) )
7969, 75, 78mpjaodan 762 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   CCcc 8972   RRcr 8973   0cc0 8974   1c1 8975    + caddc 8977    < clt 9104    <_ cle 9105    - cmin 9275   -ucneg 9276   NNcn 9984   2c2 10033   NN0cn0 10205   ZZcz 10266   ZZ>=cuz 10472   Xrm crmx 26895   Yrm crmy 26896
This theorem is referenced by:  jm2.26lem3  27004
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-omul 6715  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-ixp 7050  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-fi 7402  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-acn 7813  df-cda 8032  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-xneg 10694  df-xadd 10695  df-xmul 10696  df-ioo 10904  df-ioc 10905  df-ico 10906  df-icc 10907  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-fl 11185  df-mod 11234  df-seq 11307  df-exp 11366  df-fac 11550  df-bc 11577  df-hash 11602  df-shft 11865  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-limsup 12248  df-clim 12265  df-rlim 12266  df-sum 12463  df-ef 12653  df-sin 12655  df-cos 12656  df-pi 12658  df-dvds 12836  df-gcd 12990  df-numer 13110  df-denom 13111  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-starv 13527  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ds 13534  df-unif 13535  df-hom 13536  df-cco 13537  df-rest 13633  df-topn 13634  df-topgen 13650  df-pt 13651  df-prds 13654  df-xrs 13709  df-0g 13710  df-gsum 13711  df-qtop 13716  df-imas 13717  df-xps 13719  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-mnd 14673  df-submnd 14722  df-mulg 14798  df-cntz 15099  df-cmn 15397  df-psmet 16677  df-xmet 16678  df-met 16679  df-bl 16680  df-mopn 16681  df-fbas 16682  df-fg 16683  df-cnfld 16687  df-top 16946  df-bases 16948  df-topon 16949  df-topsp 16950  df-cld 17066  df-ntr 17067  df-cls 17068  df-nei 17145  df-lp 17183  df-perf 17184  df-cn 17274  df-cnp 17275  df-haus 17362  df-tx 17577  df-hmeo 17770  df-fil 17861  df-fm 17953  df-flim 17954  df-flf 17955  df-xms 18333  df-ms 18334  df-tms 18335  df-cncf 18891  df-limc 19736  df-dv 19737  df-log 20437  df-squarenn 26836  df-pell1qr 26837  df-pell14qr 26838  df-pell1234qr 26839  df-pellfund 26840  df-rmx 26897  df-rmy 26898
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