Theorem jm2.24nn 26413

Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.24nn	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )

Proof of Theorem jm2.24nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 10012	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		1z 10020	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
3		zsubcl 10028	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	sylancl 646	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ZZ )
5		frmy 26366	. . . . . 6 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
6	5	fovcl 5883	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
7	4, 6	sylan2 462	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
8	7	zred 10084	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR )
9	5	fovcl 5883	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
10	1, 9	sylan2 462	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
11	10	zred 10084	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. RR )
12	8, 11	readdcld 8830	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) e. RR )
13		2re 9783	. . . 4 |- 2 e. RR
14		remulcl 8790	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
15	13, 11, 14	sylancr 647	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
16	15, 8	resubcld 9179	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
17		frmx 26365	. . . . 5 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
18	17	fovcl 5883	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
19	1, 18	sylan2 462	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
20	19	nn0red 9986	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
21	11, 8	resubcld 9179	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
22		remulcl 8790	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
23	13, 8, 22	sylancr 647	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
24		eluzelre 10206	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
25	24	adantr 453	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. RR )
26	25, 8	remulcld 8831	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
27	8, 25	remulcld 8831	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) e. RR )
28	17	fovcl 5883	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
29	4, 28	sylan2 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
30	29	nn0red 9986	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. RR )
31	27, 30	readdcld 8830	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
32	13	a1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 2 e. RR )
33		nnm1nn0 9972	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
34		rmxypos 26401	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) /\ 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
35	34	simprd 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
36	33, 35	sylan2 462	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
37		eluzle 10207	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ A )
38	37	adantr 453	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 2 <_ A )
39	32, 25, 8, 36, 38	lemul1ad 9664	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
40	25	recnd 8829	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. CC )
41	8	recnd 8829	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. CC )
42	40, 41	mulcomd 8824	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) )
43	34	simpld 447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) )
44	33, 43	sylan2 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) )
45	30, 27	ltaddposd 9324	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) ) )
46	44, 45	mpbid 203	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
47	42, 46	eqbrtrd 4017	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
48	23, 26, 31, 39, 47	lelttrd 8942	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
49	41	2timesd 9921	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
50		rmyp1 26385	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
51	4, 50	sylan2 462	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
52		nnre 9721	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
53	52	adantl 454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. RR )
54	53	recnd 8829	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. CC )
55		ax-1cn 8763	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
56		npcan 9028	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
57	54, 55, 56	sylancl 646	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
58	57	oveq2d 5808	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( A Yrm N ) )
59	51, 58	eqtr3d 2292	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Yrm N ) )
60	48, 49, 59	3brtr3d 4026	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( A Yrm N ) )
61	8, 8, 11	ltaddsubd 9340	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( A Yrm N ) <-> ( A Yrm ( N - 1 ) ) < ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) ) )
62	60, 61	mpbid 203	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) < ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
63	8, 21, 11, 62	ltadd1dd 9351	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
64	11	recnd 8829	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
65	64	2timesd 9921	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) = ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) )
66	65	oveq1d 5807	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
67	64, 64, 41	addsubd 9146	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
68	66, 67	eqtrd 2290	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
69	63, 68	breqtrrd 4023	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
70	25, 11	remulcld 8831	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
71		rmy0 26381	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
72	71	adantr 453	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
73		nngt0 9743	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < N )
74	73	adantl 454	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < N )
75		simpl 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76		0z 10002	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
77	76	a1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 e. ZZ )
78	1	adantl 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
79		ltrmy 26406	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
80	75, 77, 78, 79	syl3anc 1187	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
81	74, 80	mpbid 203	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) )
82	72, 81	eqbrtrrd 4019	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Yrm N ) )
83		lemul1 9576	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR /\ ( ( A Yrm N ) e. RR /\ 0 < ( A Yrm N ) ) ) -> ( 2 <_ A <-> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) ) )
84	32, 25, 11, 82, 83	syl112anc 1191	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 <_ A <-> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) ) )
85	38, 84	mpbid 203	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) )
86	15, 70, 8, 85	lesub1dd 9356	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
87		rmym1 26387	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) )
88	1, 87	sylan2 462	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) )
89	64, 40	mulcomd 8824	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) x. A ) = ( A x. ( A Yrm N ) ) )
90	89	oveq1d 5807	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) = ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) )
91	88, 90	eqtr2d 2291	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
92	70	recnd 8829	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
93	20	recnd 8829	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
94		subsub23 9024	. . . . 5 |- ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) e. CC /\ ( A Xrm N ) e. CC /\ ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. CC ) -> ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) ) )
95	92, 93, 41, 94	syl3anc 1187	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) ) )
96	91, 95	mpbid 203	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) )
97	86, 96	breqtrd 4021	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( A Xrm N ) )
98	12, 16, 20, 69, 97	ltletrd 8944	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )

Syntax hints:   -> wi 6   <-> wb 178   /\ wa 360   = wceq 1619   e. wcel 1621   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   RRcr 8704   0cc0 8705   1c1 8706   + caddc 8708   x. cmul 8710   < clt 8835   <_ cle 8836   - cmin 9005   NNcn 9714   2c2 9763   NN0cn0 9932   ZZcz 9991   ZZ>=cuz 10197   X_rm crmx 26352   Y_rm crmy 26353

This theorem is referenced by:  jm2.24  26417

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-mod 10940  df-seq 11013  df-exp 11071  df-fac 11255  df-bc 11282  df-hash 11304  df-shft 11527  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-limsup 11910  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-ef 12311  df-sin 12313  df-cos 12314  df-pi 12316  df-divides 12494  df-gcd 12648  df-numer 12768  df-denom 12769  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-submnd 14378  df-mulg 14454  df-cntz 14755  df-cmn 15053  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-lp 16830  df-perf 16831  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-haus 17005  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-limc 19178  df-dv 19179  df-log 19876  df-squarenn 26293  df-pell1qr 26294  df-pell14qr 26295  df-pell1234qr 26296  df-pellfund 26297  df-rmx 26354  df-rmy 26355