Theorem jm2.24nn 26914

Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.24nn	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )

Proof of Theorem jm2.24nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 10259	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		1z 10267	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
3		zsubcl 10275	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	sylancl 644	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ZZ )
5		frmy 26867	. . . . . 6 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
6	5	fovcl 6134	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
7	4, 6	sylan2 461	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
8	7	zred 10331	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR )
9	5	fovcl 6134	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
10	1, 9	sylan2 461	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
11	10	zred 10331	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. RR )
12	8, 11	readdcld 9071	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) e. RR )
13		2re 10025	. . . 4 |- 2 e. RR
14		remulcl 9031	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
15	13, 11, 14	sylancr 645	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
16	15, 8	resubcld 9421	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
17		frmx 26866	. . . . 5 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
18	17	fovcl 6134	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
19	1, 18	sylan2 461	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
20	19	nn0red 10231	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
21	11, 8	resubcld 9421	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
22		remulcl 9031	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
23	13, 8, 22	sylancr 645	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
24		eluzelre 10453	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
25	24	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. RR )
26	25, 8	remulcld 9072	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
27	8, 25	remulcld 9072	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) e. RR )
28	17	fovcl 6134	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
29	4, 28	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
30	29	nn0red 10231	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. RR )
31	27, 30	readdcld 9071	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
32	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 2 e. RR )
33		nnm1nn0 10217	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
34		rmxypos 26902	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) /\ 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
35	34	simprd 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
36	33, 35	sylan2 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
37		eluzle 10454	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ A )
38	37	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 2 <_ A )
39	32, 25, 8, 36, 38	lemul1ad 9906	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
40	25	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. CC )
41	8	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. CC )
42	40, 41	mulcomd 9065	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) )
43	34	simpld 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) )
44	33, 43	sylan2 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) )
45	30, 27	ltaddposd 9566	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) ) )
46	44, 45	mpbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
47	42, 46	eqbrtrd 4192	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
48	23, 26, 31, 39, 47	lelttrd 9184	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
49	41	2timesd 10166	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
50		rmyp1 26886	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
51	4, 50	sylan2 461	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
52		nnre 9963	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
53	52	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. RR )
54	53	recnd 9070	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. CC )
55		ax-1cn 9004	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
56		npcan 9270	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
57	54, 55, 56	sylancl 644	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
58	57	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( A Yrm N ) )
59	51, 58	eqtr3d 2438	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Yrm N ) )
60	48, 49, 59	3brtr3d 4201	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( A Yrm N ) )
61	8, 8, 11	ltaddsubd 9582	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( A Yrm N ) <-> ( A Yrm ( N - 1 ) ) < ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) ) )
62	60, 61	mpbid 202	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) < ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
63	8, 21, 11, 62	ltadd1dd 9593	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
64	11	recnd 9070	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
65	64	2timesd 10166	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) = ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) )
66	65	oveq1d 6055	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
67	64, 64, 41	addsubd 9388	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
68	66, 67	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
69	63, 68	breqtrrd 4198	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
70	25, 11	remulcld 9072	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
71		rmy0 26882	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
72	71	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
73		nngt0 9985	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < N )
74	73	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < N )
75		simpl 444	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76		0z 10249	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
77	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 e. ZZ )
78	1	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
79		ltrmy 26907	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
80	75, 77, 78, 79	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
81	74, 80	mpbid 202	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) )
82	72, 81	eqbrtrrd 4194	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Yrm N ) )
83		lemul1 9818	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR /\ ( ( A Yrm N ) e. RR /\ 0 < ( A Yrm N ) ) ) -> ( 2 <_ A <-> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) ) )
84	32, 25, 11, 82, 83	syl112anc 1188	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 <_ A <-> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) ) )
85	38, 84	mpbid 202	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) )
86	15, 70, 8, 85	lesub1dd 9598	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
87		rmym1 26888	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) )
88	1, 87	sylan2 461	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) )
89	64, 40	mulcomd 9065	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) x. A ) = ( A x. ( A Yrm N ) ) )
90	89	oveq1d 6055	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) = ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) )
91	88, 90	eqtr2d 2437	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
92	70	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
93	20	recnd 9070	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
94		subsub23 9266	. . . . 5 |- ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) e. CC /\ ( A Xrm N ) e. CC /\ ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. CC ) -> ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) ) )
95	92, 93, 41, 94	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) ) )
96	91, 95	mpbid 202	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) )
97	86, 96	breqtrd 4196	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( A Xrm N ) )
98	12, 16, 20, 69, 97	ltletrd 9186	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   X_rm crmx 26853   Y_rm crmy 26854

This theorem is referenced by:  jm2.24  26918

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-squarenn 26794  df-pell1qr 26795  df-pell14qr 26796  df-pell1234qr 26797  df-pellfund 26798  df-rmx 26855  df-rmy 26856