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Theorem jm2.24nn 26914
Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to  NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.24nn  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )

Proof of Theorem jm2.24nn
StepHypRef Expression
1 nnz 10259 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3 zsubcl 10275 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancl 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 frmy 26867 . . . . . 6  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
65fovcl 6134 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
74, 6sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
87zred 10331 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
95fovcl 6134 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
101, 9sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
1110zred 10331 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
128, 11readdcld 9071 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
13 2re 10025 . . . 4  |-  2  e.  RR
14 remulcl 9031 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
1513, 11, 14sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
1615, 8resubcld 9421 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
17 frmx 26866 . . . . 5  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1817fovcl 6134 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
191, 18sylan2 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2019nn0red 10231 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  RR )
2111, 8resubcld 9421 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
22 remulcl 9031 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
2313, 8, 22sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
24 eluzelre 10453 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
2524adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
2625, 8remulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
278, 25remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A )  e.  RR )
2817fovcl 6134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( N  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
294, 28sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
3029nn0red 10231 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
3127, 30readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
3213a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
33 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
34 rmxypos 26902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
3534simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
3633, 35sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )
37 eluzle 10454 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  A )
3837adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  2  <_  A )
3932, 25, 8, 36, 38lemul1ad 9906 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
4025recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
418recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
4240, 41mulcomd 9065 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A ) )
4334simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) )
4433, 43sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )
4530, 27ltaddposd 9566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  <  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A
)  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) ) )
4644, 45mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
4742, 46eqbrtrd 4192 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
4823, 26, 31, 39, 47lelttrd 9184 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
49412timesd 10166 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
50 rmyp1 26886 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) )
514, 50sylan2 461 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
52 nnre 9963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
5352adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
5453recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
55 ax-1cn 9004 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
56 npcan 9270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5754, 55, 56sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
5857oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( A Yrm  N ) )
5951, 58eqtr3d 2438 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Yrm  N ) )
6048, 49, 593brtr3d 4201 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <  ( A Yrm  N ) )
618, 8, 11ltaddsubd 9582 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <  ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) ) )
6260, 61mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <  (
( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
638, 21, 11, 62ltadd1dd 9593 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6411recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
65642timesd 10166 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6665oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
6764, 64, 41addsubd 9388 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6866, 67eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6963, 68breqtrrd 4198 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
7025, 11remulcld 9072 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  RR )
71 rmy0 26882 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
7271adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
73 nngt0 9985 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
7473adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
75 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
76 0z 10249 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
7776a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
781adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
79 ltrmy 26907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
8075, 77, 78, 79syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
8174, 80mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
8272, 81eqbrtrrd 4194 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
83 lemul1 9818 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( A Yrm  N )  e.  RR  /\  0  < 
( A Yrm  N ) ) )  ->  ( 2  <_  A  <->  ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
8432, 25, 11, 82, 83syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  <_  A  <->  ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
8538, 84mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N
) ) )
8615, 70, 8, 85lesub1dd 9598 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
87 rmym1 26888 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
881, 87sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
8964, 40mulcomd 9065 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  A )  =  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) )
9089oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) ) )
9188, 90eqtr2d 2437 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
9270recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  CC )
9320recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
94 subsub23 9266 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  CC )  ->  (
( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) ) )
9592, 93, 41, 94syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) ) )
9691, 95mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) )
9786, 96breqtrd 4196 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( A Xrm  N ) )
9812, 16, 20, 69, 97ltletrd 9186 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   Xrm crmx 26853   Yrm crmy 26854
This theorem is referenced by:  jm2.24  26918
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707  df-log 20407  df-squarenn 26794  df-pell1qr 26795  df-pell14qr 26796  df-pell1234qr 26797  df-pellfund 26798  df-rmx 26855  df-rmy 26856
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