Theorem jm2.24nn 27046

Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.24nn	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )

Proof of Theorem jm2.24nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 10045	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		1z 10053	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
3		zsubcl 10061	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	sylancl 643	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ZZ )
5		frmy 26999	. . . . . 6 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
6	5	fovcl 5949	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
7	4, 6	sylan2 460	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
8	7	zred 10117	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR )
9	5	fovcl 5949	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
10	1, 9	sylan2 460	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
11	10	zred 10117	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. RR )
12	8, 11	readdcld 8862	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) e. RR )
13		2re 9815	. . . 4 |- 2 e. RR
14		remulcl 8822	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
15	13, 11, 14	sylancr 644	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
16	15, 8	resubcld 9211	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
17		frmx 26998	. . . . 5 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
18	17	fovcl 5949	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
19	1, 18	sylan2 460	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
20	19	nn0red 10019	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
21	11, 8	resubcld 9211	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
22		remulcl 8822	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
23	13, 8, 22	sylancr 644	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
24		eluzelre 10239	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
25	24	adantr 451	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. RR )
26	25, 8	remulcld 8863	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
27	8, 25	remulcld 8863	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) e. RR )
28	17	fovcl 5949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
29	4, 28	sylan2 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
30	29	nn0red 10019	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. RR )
31	27, 30	readdcld 8862	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
32	13	a1i 10	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 2 e. RR )
33		nnm1nn0 10005	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
34		rmxypos 27034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) /\ 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
35	34	simprd 449	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
36	33, 35	sylan2 460	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
37		eluzle 10240	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ A )
38	37	adantr 451	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 2 <_ A )
39	32, 25, 8, 36, 38	lemul1ad 9696	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
40	25	recnd 8861	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. CC )
41	8	recnd 8861	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. CC )
42	40, 41	mulcomd 8856	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) )
43	34	simpld 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) )
44	33, 43	sylan2 460	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) )
45	30, 27	ltaddposd 9356	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) ) )
46	44, 45	mpbid 201	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
47	42, 46	eqbrtrd 4043	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
48	23, 26, 31, 39, 47	lelttrd 8974	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
49	41	2timesd 9954	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
50		rmyp1 27018	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
51	4, 50	sylan2 460	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
52		nnre 9753	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
53	52	adantl 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. RR )
54	53	recnd 8861	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. CC )
55		ax-1cn 8795	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
56		npcan 9060	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
57	54, 55, 56	sylancl 643	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
58	57	oveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( A Yrm N ) )
59	51, 58	eqtr3d 2317	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Yrm N ) )
60	48, 49, 59	3brtr3d 4052	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( A Yrm N ) )
61	8, 8, 11	ltaddsubd 9372	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( A Yrm N ) <-> ( A Yrm ( N - 1 ) ) < ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) ) )
62	60, 61	mpbid 201	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) < ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
63	8, 21, 11, 62	ltadd1dd 9383	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
64	11	recnd 8861	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
65	64	2timesd 9954	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) = ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) )
66	65	oveq1d 5873	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
67	64, 64, 41	addsubd 9178	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
68	66, 67	eqtrd 2315	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
69	63, 68	breqtrrd 4049	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
70	25, 11	remulcld 8863	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
71		rmy0 27014	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
72	71	adantr 451	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
73		nngt0 9775	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < N )
74	73	adantl 452	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < N )
75		simpl 443	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76		0z 10035	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
77	76	a1i 10	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 e. ZZ )
78	1	adantl 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
79		ltrmy 27039	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
80	75, 77, 78, 79	syl3anc 1182	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
81	74, 80	mpbid 201	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) )
82	72, 81	eqbrtrrd 4045	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Yrm N ) )
83		lemul1 9608	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR /\ ( ( A Yrm N ) e. RR /\ 0 < ( A Yrm N ) ) ) -> ( 2 <_ A <-> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) ) )
84	32, 25, 11, 82, 83	syl112anc 1186	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 <_ A <-> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) ) )
85	38, 84	mpbid 201	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) )
86	15, 70, 8, 85	lesub1dd 9388	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
87		rmym1 27020	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) )
88	1, 87	sylan2 460	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) )
89	64, 40	mulcomd 8856	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) x. A ) = ( A x. ( A Yrm N ) ) )
90	89	oveq1d 5873	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) = ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) )
91	88, 90	eqtr2d 2316	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
92	70	recnd 8861	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
93	20	recnd 8861	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
94		subsub23 9056	. . . . 5 |- ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) e. CC /\ ( A Xrm N ) e. CC /\ ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. CC ) -> ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) ) )
95	92, 93, 41, 94	syl3anc 1182	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) ) )
96	91, 95	mpbid 201	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) )
97	86, 96	breqtrd 4047	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( A Xrm N ) )
98	12, 16, 20, 69, 97	ltletrd 8976	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1623   e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   + caddc 8740   x. cmul 8742   < clt 8867   <_ cle 8868   - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   X_rm crmx 26985   Y_rm crmy 26986

This theorem is referenced by:  jm2.24  27050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-numer 12806  df-denom 12807  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-squarenn 26926  df-pell1qr 26927  df-pell14qr 26928  df-pell1234qr 26929  df-pellfund 26930  df-rmx 26987  df-rmy 26988