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Theorem jm2.24nn 26369
Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to  NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.24nn  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )

Proof of Theorem jm2.24nn
StepHypRef Expression
1 nnz 10137 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 1z 10145 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3 zsubcl 10153 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancl 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 frmy 26322 . . . . . 6  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
65fovcl 6036 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
74, 6sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
87zred 10209 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
95fovcl 6036 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
101, 9sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
1110zred 10209 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
128, 11readdcld 8952 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
13 2re 9905 . . . 4  |-  2  e.  RR
14 remulcl 8912 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
1513, 11, 14sylancr 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
1615, 8resubcld 9301 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
17 frmx 26321 . . . . 5  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1817fovcl 6036 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
191, 18sylan2 460 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2019nn0red 10111 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  RR )
2111, 8resubcld 9301 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
22 remulcl 8912 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
2313, 8, 22sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
24 eluzelre 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
2524adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
2625, 8remulcld 8953 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
278, 25remulcld 8953 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A )  e.  RR )
2817fovcl 6036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( N  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
294, 28sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
3029nn0red 10111 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
3127, 30readdcld 8952 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
3213a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
33 nnm1nn0 10097 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
34 rmxypos 26357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
3534simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
3633, 35sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )
37 eluzle 10332 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  A )
3837adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  2  <_  A )
3932, 25, 8, 36, 38lemul1ad 9786 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
4025recnd 8951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
418recnd 8951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
4240, 41mulcomd 8946 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A ) )
4334simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) )
4433, 43sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )
4530, 27ltaddposd 9446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  <  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A
)  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) ) )
4644, 45mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
4742, 46eqbrtrd 4124 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
4823, 26, 31, 39, 47lelttrd 9064 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
49412timesd 10046 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
50 rmyp1 26341 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) )
514, 50sylan2 460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
52 nnre 9843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
5352adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
5453recnd 8951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
55 ax-1cn 8885 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
56 npcan 9150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5754, 55, 56sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
5857oveq2d 5961 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( A Yrm  N ) )
5951, 58eqtr3d 2392 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Yrm  N ) )
6048, 49, 593brtr3d 4133 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <  ( A Yrm  N ) )
618, 8, 11ltaddsubd 9462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <  ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) ) )
6260, 61mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <  (
( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
638, 21, 11, 62ltadd1dd 9473 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6411recnd 8951 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
65642timesd 10046 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6665oveq1d 5960 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
6764, 64, 41addsubd 9268 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6866, 67eqtrd 2390 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6963, 68breqtrrd 4130 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
7025, 11remulcld 8953 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  RR )
71 rmy0 26337 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
7271adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
73 nngt0 9865 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
7473adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
75 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
76 0z 10127 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
7776a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
781adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
79 ltrmy 26362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
8075, 77, 78, 79syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
8174, 80mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
8272, 81eqbrtrrd 4126 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
83 lemul1 9698 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( A Yrm  N )  e.  RR  /\  0  < 
( A Yrm  N ) ) )  ->  ( 2  <_  A  <->  ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
8432, 25, 11, 82, 83syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  <_  A  <->  ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
8538, 84mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N
) ) )
8615, 70, 8, 85lesub1dd 9478 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
87 rmym1 26343 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
881, 87sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
8964, 40mulcomd 8946 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  A )  =  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) )
9089oveq1d 5960 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) ) )
9188, 90eqtr2d 2391 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
9270recnd 8951 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  CC )
9320recnd 8951 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
94 subsub23 9146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  CC )  ->  (
( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) ) )
9592, 93, 41, 94syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) ) )
9691, 95mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) )
9786, 96breqtrd 4128 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( A Xrm  N ) )
9812, 16, 20, 69, 97ltletrd 9066 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127   NNcn 9836   2c2 9885   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   Xrm crmx 26308   Yrm crmy 26309
This theorem is referenced by:  jm2.24  26373
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-omul 6571  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-fi 7255  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-acn 7665  df-cda 7884  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-ioo 10752  df-ioc 10753  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-fac 11382  df-bc 11409  df-hash 11431  df-shft 11658  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-limsup 12041  df-clim 12058  df-rlim 12059  df-sum 12256  df-ef 12446  df-sin 12448  df-cos 12449  df-pi 12451  df-dvds 12629  df-gcd 12783  df-numer 12903  df-denom 12904  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-hom 13329  df-cco 13330  df-rest 13426  df-topn 13427  df-topgen 13443  df-pt 13444  df-prds 13447  df-xrs 13502  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-qtop 13509  df-imas 13510  df-xps 13512  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-xmet 16475  df-met 16476  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-fbas 16479  df-fg 16480  df-cnfld 16483  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-topsp 16746  df-cld 16862  df-ntr 16863  df-cls 16864  df-nei 16941  df-lp 16974  df-perf 16975  df-cn 17063  df-cnp 17064  df-haus 17149  df-tx 17363  df-hmeo 17552  df-fil 17643  df-fm 17735  df-flim 17736  df-flf 17737  df-xms 17987  df-ms 17988  df-tms 17989  df-cncf 18485  df-limc 19320  df-dv 19321  df-log 20021  df-squarenn 26249  df-pell1qr 26250  df-pell14qr 26251  df-pell1234qr 26252  df-pellfund 26253  df-rmx 26310  df-rmy 26311
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