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Theorem jm2.24nn 26447
Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to  NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.24nn  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )

Proof of Theorem jm2.24nn
StepHypRef Expression
1 nnz 10042 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 1z 10050 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3 zsubcl 10058 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancl 645 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
5 frmy 26400 . . . . . 6  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
65fovcl 5912 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
74, 6sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
87zred 10114 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
95fovcl 5912 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
101, 9sylan2 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
1110zred 10114 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
128, 11readdcld 8859 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
13 2re 9812 . . . 4  |-  2  e.  RR
14 remulcl 8819 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
1513, 11, 14sylancr 646 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
1615, 8resubcld 9208 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
17 frmx 26399 . . . . 5  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1817fovcl 5912 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
191, 18sylan2 462 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2019nn0red 10016 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  RR )
2111, 8resubcld 9208 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
22 remulcl 8819 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  RR )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
2313, 8, 22sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
24 eluzelre 10236 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
2524adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
2625, 8remulcld 8860 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
278, 25remulcld 8860 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A )  e.  RR )
2817fovcl 5912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( N  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
294, 28sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  NN0 )
3029nn0red 10016 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
3127, 30readdcld 8859 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
3213a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
33 nnm1nn0 10002 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
34 rmxypos 26435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
( 0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
3534simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
3633, 35sylan2 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <_  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )
37 eluzle 10237 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  A )
3837adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  2  <_  A )
3932, 25, 8, 36, 38lemul1ad 9693 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
4025recnd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
418recnd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
4240, 41mulcomd 8853 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A ) )
4334simpld 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  NN0 )  -> 
0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) )
4433, 43sylan2 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )
4530, 27ltaddposd 9353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  ( A Xrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  <  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A
)  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) ) )
4644, 45mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  x.  A )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
4742, 46eqbrtrd 4046 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
4823, 26, 31, 39, 47lelttrd 8971 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
49412timesd 9951 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
50 rmyp1 26419 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  -  1 ) ) ) )
514, 50sylan2 462 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
52 nnre 9750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
5352adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
5453recnd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
55 ax-1cn 8792 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
56 npcan 9057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
5754, 55, 56sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
5857oveq2d 5837 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( A Yrm  N ) )
5951, 58eqtr3d 2320 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  x.  A )  +  ( A Xrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Yrm  N ) )
6048, 49, 593brtr3d 4055 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <  ( A Yrm  N ) )
618, 8, 11ltaddsubd 9369 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  <  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <  ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) ) )
6260, 61mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <  (
( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
638, 21, 11, 62ltadd1dd 9380 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6411recnd 8858 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
65642timesd 9951 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6665oveq1d 5836 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
6764, 64, 41addsubd 9175 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  +  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6866, 67eqtrd 2318 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6963, 68breqtrrd 4052 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
7025, 11remulcld 8860 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  RR )
71 rmy0 26415 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
7271adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
73 nngt0 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
7473adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
75 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
76 0z 10032 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ZZ
7776a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
781adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
79 ltrmy 26440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
8075, 77, 78, 79syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
8174, 80mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
8272, 81eqbrtrrd 4048 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
83 lemul1 9605 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( A Yrm  N )  e.  RR  /\  0  < 
( A Yrm  N ) ) )  ->  ( 2  <_  A  <->  ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
8432, 25, 11, 82, 83syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  <_  A  <->  ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
8538, 84mpbid 203 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  <_  ( A  x.  ( A Yrm  N
) ) )
8615, 70, 8, 85lesub1dd 9385 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
87 rmym1 26421 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
881, 87sylan2 462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) ) )
8964, 40mulcomd 8853 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  A )  =  ( A  x.  ( A Yrm  N ) ) )
9089oveq1d 5836 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  A )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) ) )
9188, 90eqtr2d 2319 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
9270recnd 8858 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  CC )
9320recnd 8858 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
94 subsub23 9053 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  CC )  ->  (
( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) ) )
9592, 93, 41, 94syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Xrm  N ) )  =  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  <->  ( ( A  x.  ( A Yrm  N ) )  -  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) ) )
9691, 95mpbid 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  =  ( A Xrm  N ) )
9786, 96breqtrd 4050 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  -  ( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) )  <_  ( A Xrm  N ) )
9812, 16, 20, 69, 97ltletrd 8973 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687   class class class wbr 4026   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   CCcc 8732   RRcr 8733   0cc0 8734   1c1 8735    + caddc 8737    x. cmul 8739    < clt 8864    <_ cle 8865    - cmin 9034   NNcn 9743   2c2 9792   NN0cn0 9962   ZZcz 10021   ZZ>=cuz 10227   Xrm crmx 26386   Yrm crmy 26387
This theorem is referenced by:  jm2.24  26451
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-omul 6481  df-er 6657  df-map 6771  df-pm 6772  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-acn 7572  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-ef 12345  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-dvds 12528  df-gcd 12682  df-numer 12802  df-denom 12803  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-limc 19212  df-dv 19213  df-log 19910  df-squarenn 26327  df-pell1qr 26328  df-pell14qr 26329  df-pell1234qr 26330  df-pellfund 26331  df-rmx 26388  df-rmy 26389
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