Theorem jm2.24nn 26447

Description: X(n) is strictly greater than Y(n) + Y(n-1). Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 restricted to NN. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.24nn	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )

Proof of Theorem jm2.24nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 10042	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		1z 10050	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
3		zsubcl 10058	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( N - 1 ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	sylancl 645	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. ZZ )
5		frmy 26400	. . . . . 6 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
6	5	fovcl 5912	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
7	4, 6	sylan2 462	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. ZZ )
8	7	zred 10114	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR )
9	5	fovcl 5912	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
10	1, 9	sylan2 462	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
11	10	zred 10114	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. RR )
12	8, 11	readdcld 8859	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) e. RR )
13		2re 9812	. . . 4 |- 2 e. RR
14		remulcl 8819	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A Yrm N ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
15	13, 11, 14	sylancr 646	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
16	15, 8	resubcld 9208	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
17		frmx 26399	. . . . 5 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
18	17	fovcl 5912	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
19	1, 18	sylan2 462	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
20	19	nn0red 10016	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. RR )
21	11, 8	resubcld 9208	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
22		remulcl 8819	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
23	13, 8, 22	sylancr 646	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
24		eluzelre 10236	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
25	24	adantr 453	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. RR )
26	25, 8	remulcld 8860	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
27	8, 25	remulcld 8860	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) e. RR )
28	17	fovcl 5912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
29	4, 28	sylan2 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. NN0 )
30	29	nn0red 10016	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm ( N - 1 ) ) e. RR )
31	27, 30	readdcld 8859	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) e. RR )
32	13	a1i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 2 e. RR )
33		nnm1nn0 10002	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
34		rmxypos 26435	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> ( 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) /\ 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
35	34	simprd 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
36	33, 35	sylan2 462	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
37		eluzle 10237	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 <_ A )
38	37	adantr 453	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 2 <_ A )
39	32, 25, 8, 36, 38	lemul1ad 9693	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
40	25	recnd 8858	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. CC )
41	8	recnd 8858	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. CC )
42	40, 41	mulcomd 8853	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) )
43	34	simpld 447	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. NN0 ) -> 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) )
44	33, 43	sylan2 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) )
45	30, 27	ltaddposd 9353	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 0 < ( A Xrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) ) )
46	44, 45	mpbid 203	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
47	42, 46	eqbrtrd 4046	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
48	23, 26, 31, 39, 47	lelttrd 8971	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
49	41	2timesd 9951	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
50		rmyp1 26419	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
51	4, 50	sylan2 462	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) )
52		nnre 9750	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. RR )
53	52	adantl 454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. RR )
54	53	recnd 8858	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. CC )
55		ax-1cn 8792	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
56		npcan 9057	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
57	54, 55, 56	sylancl 645	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
58	57	oveq2d 5837	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( A Yrm N ) )
59	51, 58	eqtr3d 2320	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) x. A ) + ( A Xrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Yrm N ) )
60	48, 49, 59	3brtr3d 4055	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( A Yrm N ) )
61	8, 8, 11	ltaddsubd 9369	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) < ( A Yrm N ) <-> ( A Yrm ( N - 1 ) ) < ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) ) )
62	60, 61	mpbid 203	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) < ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
63	8, 21, 11, 62	ltadd1dd 9380	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
64	11	recnd 8858	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
65	64	2timesd 9951	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) = ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) )
66	65	oveq1d 5836	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
67	64, 64, 41	addsubd 9175	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) + ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
68	66, 67	eqtrd 2318	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( ( ( A Yrm N ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) + ( A Yrm N ) ) )
69	63, 68	breqtrrd 4052	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
70	25, 11	remulcld 8860	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm N ) ) e. RR )
71		rmy0 26415	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
72	71	adantr 453	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
73		nngt0 9772	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 < N )
74	73	adantl 454	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < N )
75		simpl 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
76		0z 10032	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. ZZ
77	76	a1i 12	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 e. ZZ )
78	1	adantl 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
79		ltrmy 26440	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
80	75, 77, 78, 79	syl3anc 1184	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
81	74, 80	mpbid 203	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) )
82	72, 81	eqbrtrrd 4048	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Yrm N ) )
83		lemul1 9605	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR /\ ( ( A Yrm N ) e. RR /\ 0 < ( A Yrm N ) ) ) -> ( 2 <_ A <-> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) ) )
84	32, 25, 11, 82, 83	syl112anc 1188	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 <_ A <-> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) ) )
85	38, 84	mpbid 203	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. ( A Yrm N ) ) <_ ( A x. ( A Yrm N ) ) )
86	15, 70, 8, 85	lesub1dd 9385	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) )
87		rmym1 26421	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) )
88	1, 87	sylan2 462	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N - 1 ) ) = ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) )
89	64, 40	mulcomd 8853	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) x. A ) = ( A x. ( A Yrm N ) ) )
90	89	oveq1d 5836	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) x. A ) - ( A Xrm N ) ) = ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) )
91	88, 90	eqtr2d 2319	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) )
92	70	recnd 8858	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A x. ( A Yrm N ) ) e. CC )
93	20	recnd 8858	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. CC )
94		subsub23 9053	. . . . 5 |- ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) e. CC /\ ( A Xrm N ) e. CC /\ ( A Yrm ( N - 1 ) ) e. CC ) -> ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) ) )
95	92, 93, 41, 94	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Xrm N ) ) = ( A Yrm ( N - 1 ) ) <-> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) ) )
96	91, 95	mpbid 203	. . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) = ( A Xrm N ) )
97	86, 96	breqtrd 4050	. 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. ( A Yrm N ) ) - ( A Yrm ( N - 1 ) ) ) <_ ( A Xrm N ) )
98	12, 16, 20, 69, 97	ltletrd 8973	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N - 1 ) ) + ( A Yrm N ) ) < ( A Xrm N ) )

Syntax hints:   -> wi 6   <-> wb 178   /\ wa 360   = wceq 1625   e. wcel 1687   class class class wbr 4026   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   CCcc 8732   RRcr 8733   0cc0 8734   1c1 8735   + caddc 8737   x. cmul 8739   < clt 8864   <_ cle 8865   - cmin 9034   NNcn 9743   2c2 9792   NN0cn0 9962   ZZcz 10021   ZZ>=cuz 10227   X_rm crmx 26386   Y_rm crmy 26387

This theorem is referenced by:  jm2.24  26451

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-omul 6481  df-er 6657  df-map 6771  df-pm 6772  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-acn 7572  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-ef 12345  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-dvds 12528  df-gcd 12682  df-numer 12802  df-denom 12803  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-limc 19212  df-dv 19213  df-log 19910  df-squarenn 26327  df-pell1qr 26328  df-pell14qr 26329  df-pell1234qr 26330  df-pellfund 26331  df-rmx 26388  df-rmy 26389