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Theorem jm2.26 26427
Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.26
StepHypRef Expression
1 acongrep 26399 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ZZ )  ->  E. m  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )
21ad2ant2l 729 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... N
) ( ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  -u M
) ) )
3 acongrep 26399 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )
43ad2ant2lr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  E. k  e.  ( 0 ... N
) ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )
5 2z 9986 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
6 simpl1l 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )
)
7 nnz 9977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
87adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
10 zmulcl 9998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
115, 9, 10sylancr 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
12 simplrl 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
13123ad2antl1 1122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
14 simpl3l 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N ) )
15 elfzelz 10729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  ZZ )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
17 simplrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
18173ad2antl1 1122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
19 simpl2r 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )
20 simpl2l 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  e.  ( 0 ... N ) )
21 simplll 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
22213ad2antl1 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
23 frmx 26330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
2423fovcl 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2524nn0zd 10047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
2622, 9, 25syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Xrm  N )  e.  ZZ )
27 elfzelz 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2820, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  e.  ZZ )
29 frmy 26331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3029fovcl 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )
3122, 28, 30syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  k )  e.  ZZ )
3229fovcl 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
3322, 18, 32syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
3429fovcl 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
m )  e.  ZZ )
3522, 16, 34syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  m )  e.  ZZ )
3629fovcl 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
3722, 13, 36syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  K )  e.  ZZ )
38 jm2.26a 26425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) ) ) )
3922, 9, 28, 13, 38syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
K ) ) ) ) )
4019, 39mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) ) )
41 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
42 acongtr 26397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
4326, 31, 37, 33, 40, 41, 42syl222anc 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
44 simpl3r 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )
45 acongsym 26395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  -u m ) ) )
4611, 16, 18, 44, 45syl31anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  -u m ) ) )
47 jm2.26a 26425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  m )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( M  -  -u m ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) ) )
4822, 9, 18, 16, 47syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  -u m
) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) ) )
4946, 48mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) )
50 acongtr 26397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  m )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) )
5126, 31, 33, 35, 43, 49, 50syl222anc 1203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) )
52 jm2.26lem3 26426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) )  ->  k  =  m )
536, 20, 14, 51, 52syl121anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  =  m )
54 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  k  =  m )
55 eqidd 2257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  K  =  K )
5654, 55acongeq12d 26398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) )  <->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u K ) ) ) )
5753, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) )  <->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u K ) ) ) )
5819, 57mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u K
) ) )
59 acongsym 26395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u K
) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) ) )
6011, 16, 13, 58, 59syl31anc 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) ) )
61 acongtr 26397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  -u M
) ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) )
6211, 13, 16, 18, 60, 44, 61syl222anc 1203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) )
63623exp1 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) )
6463exp3a 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) ) )
6564rexlimdv 2637 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) )
664, 65mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) )
6766exp3a 427 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) ) )
6867rexlimdv 2637 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N
)  ||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) )
692, 68mpd 16 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) )
70 jm2.26a 26425 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
717, 70sylanl2 635 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
7269, 71impbid 185 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1621   E.wrex 2517   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   0cc0 8670    x. cmul 8675    - cmin 8970   -ucneg 8971   NNcn 9679   2c2 9728   NN0cn0 9897   ZZcz 9956   ZZ>=cuz 10162   ...cfz 10713    || cdivides 12458   Xrm crmx 26317   Yrm crmy 26318
This theorem is referenced by:  jm2.27a  26430
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-ixp 6751  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-fi 7098  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-acn 7508  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-n0 9898  df-z 9957  df-dec 10057  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-ioo 10591  df-ioc 10592  df-ico 10593  df-icc 10594  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-sin 12278  df-cos 12279  df-pi 12281  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-numer 12733  df-denom 12734  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-starv 13150  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-tset 13154  df-ple 13155  df-ds 13157  df-hom 13159  df-cco 13160  df-rest 13254  df-topn 13255  df-topgen 13271  df-pt 13272  df-prds 13275  df-xrs 13330  df-0g 13331  df-gsum 13332  df-qtop 13337  df-imas 13338  df-xps 13340  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-mulg 14419  df-cntz 14720  df-cmn 15018  df-xmet 16300  df-met 16301  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-cnfld 16305  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-topsp 16567  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-nei 16762  df-lp 16795  df-perf 16796  df-cn 16884  df-cnp 16885  df-haus 16970  df-tx 17184  df-hmeo 17373  df-fbas 17447  df-fg 17448  df-fil 17468  df-fm 17560  df-flim 17561  df-flf 17562  df-xms 17812  df-ms 17813  df-tms 17814  df-cncf 18309  df-limc 19143  df-dv 19144  df-log 19841  df-squarenn 26258  df-pell1qr 26259  df-pell14qr 26260  df-pell1234qr 26261  df-pellfund 26262  df-rmx 26319  df-rmy 26320
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