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Theorem jm2.26 26494
Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.26
StepHypRef Expression
1 acongrep 26466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ZZ )  ->  E. m  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )
21ad2ant2l 729 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  E. m  e.  ( 0 ... N
) ( ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  -u M
) ) )
3 acongrep 26466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ZZ )  ->  E. k  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )
43ad2ant2lr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  E. k  e.  ( 0 ... N
) ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )
5 2z 10049 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
6 simpl1l 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )
)
7 nnz 10040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
87adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
10 zmulcl 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
115, 9, 10sylancr 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
12 simplrl 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
13123ad2antl1 1122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
14 simpl3l 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  m  e.  ( 0 ... N ) )
15 elfzelz 10792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 0 ... N )  ->  m  e.  ZZ )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
17 simplrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
18173ad2antl1 1122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
19 simpl2r 1014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )
20 simpl2l 1013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  e.  ( 0 ... N ) )
21 simplll 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
22213ad2antl1 1122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
23 frmx 26397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
2423fovcl 5910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
2524nn0zd 10110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
2622, 9, 25syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Xrm  N )  e.  ZZ )
27 elfzelz 10792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
2820, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  e.  ZZ )
29 frmy 26398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3029fovcl 5910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )
3122, 28, 30syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  k )  e.  ZZ )
3229fovcl 5910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
3322, 18, 32syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
3429fovcl 5910 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
m )  e.  ZZ )
3522, 16, 34syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  m )  e.  ZZ )
3629fovcl 5910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
3722, 13, 36syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( A Yrm  K )  e.  ZZ )
38 jm2.26a 26492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) ) ) )
3922, 9, 28, 13, 38syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
K ) ) ) ) )
4019, 39mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) ) )
41 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
42 acongtr 26464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  K ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  K ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
4326, 31, 37, 33, 40, 41, 42syl222anc 1203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
44 simpl3r 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )
45 acongsym 26462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  -u m ) ) )
4611, 16, 18, 44, 45syl31anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  -u m ) ) )
47 jm2.26a 26492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( M  -  m )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( M  -  -u m ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) ) )
4822, 9, 18, 16, 47syl22anc 1188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  m
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( M  -  -u m
) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) ) )
4946, 48mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) )
50 acongtr 26464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  k )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  m )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) )
5126, 31, 33, 35, 43, 49, 50syl222anc 1203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm  m ) ) ) )
52 jm2.26lem3 26493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  m  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  k )  -  ( A Yrm  m ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  k )  -  -u ( A Yrm 
m ) ) ) )  ->  k  =  m )
536, 20, 14, 51, 52syl121anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
k  =  m )
54 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  k  =  m )
55 eqidd 2285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  K  =  K )
5654, 55acongeq12d 26465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) )  <->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u K ) ) ) )
5753, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) )  <->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u K ) ) ) )
5819, 57mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u K
) ) )
59 acongsym 26462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u K
) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) ) )
6011, 16, 13, 58, 59syl31anc 1190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) ) )
61 acongtr 26464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  m )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u m ) )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( m  -  -u M
) ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) )
6211, 13, 16, 18, 60, 44, 61syl222anc 1203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  ( k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  K
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( k  -  -u K
) ) )  /\  ( m  e.  (
0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )  -> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) )
63623exp1 1172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
k  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  K )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
k  -  -u K
) ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) )
6463exp3a 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( k  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) ) )
6564rexlimdv 2667 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. k  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N
)  ||  ( k  -  K )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( k  -  -u K ) )  -> 
( ( m  e.  ( 0 ... N
)  /\  ( (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) ) ) )
664, 65mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
m  e.  ( 0 ... N )  /\  ( ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  M )  \/  ( 2  x.  N )  ||  (
m  -  -u M
) ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) )
6766exp3a 427 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( m  e.  ( 0 ... N
)  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) ) )
6867rexlimdv 2667 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. m  e.  ( 0 ... N ) ( ( 2  x.  N
)  ||  ( m  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( m  -  -u M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) ) ) ) )
692, 68mpd 16 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  \/  ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
) ) ) )
70 jm2.26a 26492 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
717, 70sylanl2 635 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
7269, 71impbid 185 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M )  \/  ( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  -u M ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939    e. wcel 1688   E.wrex 2545   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   0cc0 8732    x. cmul 8737    - cmin 9032   -ucneg 9033   NNcn 9741   2c2 9790   NN0cn0 9960   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   ...cfz 10776    || cdivides 12525   Xrm crmx 26384   Yrm crmy 26385
This theorem is referenced by:  jm2.27a  26497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-mod 10968  df-seq 11041  df-exp 11099  df-fac 11283  df-bc 11310  df-hash 11332  df-shft 11556  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-ef 12343  df-sin 12345  df-cos 12346  df-pi 12348  df-dvds 12526  df-gcd 12680  df-numer 12800  df-denom 12801  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-lp 16862  df-perf 16863  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-haus 17037  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-fm 17627  df-flim 17628  df-flf 17629  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-limc 19210  df-dv 19211  df-log 19908  df-squarenn 26325  df-pell1qr 26326  df-pell14qr 26327  df-pell1234qr 26328  df-pellfund 26329  df-rmx 26386  df-rmy 26387
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