Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1 Unicode version

Theorem jm3.1 26985
 Description: Diophantine expression for exponentiation. Lemma 3.1 of [JonesMatijasevic] p. 698. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm3.1 Yrm Xrm Yrm

Proof of Theorem jm3.1
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . 3 Yrm
2 simpl2 961 . . 3 Yrm
3 simpl3 962 . . 3 Yrm
4 simpr 448 . . 3 Yrm Yrm
51, 2, 3, 4jm3.1lem2 26983 . 2 Yrm
6 2nn0 10198 . . . . . 6
7 eluznn0 10506 . . . . . 6
86, 7mpan 652 . . . . 5
983ad2ant2 979 . . . 4
109adantr 452 . . 3 Yrm
113nnnn0d 10234 . . 3 Yrm
12 jm2.18 26953 . . 3 Xrm Yrm
131, 10, 11, 12syl3anc 1184 . 2 Yrm Xrm Yrm
14 simp1 957 . . . . . . 7
15 nnz 10263 . . . . . . . 8
16153ad2ant3 980 . . . . . . 7
17 frmx 26870 . . . . . . . 8 Xrm
1817fovcl 6138 . . . . . . 7 Xrm
1914, 16, 18syl2anc 643 . . . . . 6 Xrm
2019nn0zd 10333 . . . . 5 Xrm
21 eluzelz 10456 . . . . . . . 8
22 eluzelz 10456 . . . . . . . 8
23 zsubcl 10279 . . . . . . . 8
2421, 22, 23syl2an 464 . . . . . . 7
25243adant3 977 . . . . . 6
26 frmy 26871 . . . . . . . 8 Yrm
2726fovcl 6138 . . . . . . 7 Yrm
2814, 16, 27syl2anc 643 . . . . . 6 Yrm
2925, 28zmulcld 10341 . . . . 5 Yrm
3020, 29zsubcld 10340 . . . 4 Xrm Yrm
3130adantr 452 . . 3 Yrm Xrm Yrm
321, 2, 3, 4jm3.1lem3 26984 . . 3 Yrm
33 nnnn0 10188 . . . . . 6
34333ad2ant3 980 . . . . 5
359, 34nn0expcld 11504 . . . 4
3635adantr 452 . . 3 Yrm
37 divalgmodcl 26952 . . 3 Xrm Yrm Xrm Yrm Xrm Yrm
3831, 32, 36, 37syl3anc 1184 . 2 Yrm Xrm Yrm Xrm Yrm
395, 13, 38mpbir2and 889 1 Yrm Xrm Yrm
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   class class class wbr 4176  cfv 5417  (class class class)co 6044  c1 8951   caddc 8953   cmul 8955   clt 9080   cle 9081   cmin 9251  cn 9960  c2 10009  cn0 10181  cz 10242  cuz 10448   cmo 11209  cexp 11341   cdivides 12811   Xrm crmx 26857   Yrm crmy 26858 This theorem is referenced by:  expdiophlem1  26986 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-pi 12634  df-dvds 12812  df-gcd 12966  df-numer 13086  df-denom 13087  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411  df-squarenn 26798  df-pell1qr 26799  df-pell14qr 26800  df-pell1234qr 26801  df-pellfund 26802  df-rmx 26859  df-rmy 26860
 Copyright terms: Public domain W3C validator