Theorem kbass3t 10042

Description: Dirac bra-ket associative law <.A | B>. <.C | D>. = (<.A | B>. <.C | ) | D>..

Assertion

Ref	Expression
kbass3t	|- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((bra` A)` B) x. ((bra` C)` D)) = ((((bra` A)` B) .fn (bra` C))` D))

Proof of Theorem kbass3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hfmvalt 9512	. . 3 |- ((((bra` A)` B) e. CC /\ (bra` C):H~-->CC /\ D e. H~) -> ((((bra` A)` B) .fn (bra` C))` D) = (((bra` A)` B) x. ((bra` C)` D)))
2		braclt 9864	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((bra` A)` B) e. CC)
3	2	adantr 389	. . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((bra` A)` B) e. CC)
4		brafnt 9862	. . . 4 |- (C e. H~ -> (bra` C):H~-->CC)
5	4	ad2antrl 406	. . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (bra` C):H~-->CC)
6		simprr 415	. . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> D e. H~)
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 857	. 2 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((((bra` A)` B) .fn (bra` C))` D) = (((bra` A)` B) x. ((bra` C)` D)))
8	7	eqcomd 1479	1 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((bra` A)` B) x. ((bra` C)` D)) = ((((bra` A)` B) .fn (bra` C))` D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  -->wf 3175  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CCcc 5219   x. cmul 5226  H~chil 8772   .fn chft 8795  bracbr 8809

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612  ax-hilex 8853  ax-hfi 8930

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-qs 4263  df-map 4321  df-ni 4987  df-nq 5025  df-np 5073  df-nr 5154  df-c 5227  df-hfmul 9500  df-bra 9767

Copyright terms: Public domain