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Theorem kbass5 22716
Description: Dirac bra-ket associative law  (  |  A >.  <. B  |  ) (  |  C >.  <. D  | 
)  =  ( (  |  A >.  <. B  | 
)  |  C >. )
<. D  |. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbass5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) )

Proof of Theorem kbass5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kbval 22550 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( C  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )
213expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( C 
ketbra  D ) `  x
)  =  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )
32adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( C  ketbra  D ) `  x )  =  ( ( x 
.ih  D )  .h  C ) )
43fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) ) )
5 simplll 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  ~H )
6 simpllr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  B  e.  ~H )
7 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
8 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  D  e.  ~H )
9 hicl 21675 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  D
)  e.  CC )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  D
)  e.  CC )
11 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  C  e.  ~H )
12 hvmulcl 21609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  C )  e.  ~H )
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  C )  e.  ~H )
14 kbval 22550 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  (
( x  .ih  D
)  .h  C )  e.  ~H )  -> 
( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D
)  .h  C ) 
.ih  B )  .h  A ) )
155, 6, 13, 14syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D
)  .h  C ) 
.ih  B )  .h  A ) )
164, 15eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A ) )
17 kbop 22549 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
1817adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
19 fvco3 5612 . . . . 5  |-  ( ( ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) ) )
2018, 19sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) ) )
21 kbval 22550 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  (
( A  ketbra  B ) `
 C )  =  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) )
225, 6, 11, 21syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  =  ( ( C 
.ih  B )  .h  A ) )
2322oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
24 kbop 22549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H )
25 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
2624, 25sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( A 
ketbra  B ) `  C
)  e.  ~H )
2726adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
2827adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
29 kbval 22550 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H  /\  D  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( ( ( A 
ketbra  B ) `  C
)  ketbra  D ) `  x )  =  ( ( x  .ih  D
)  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) ) )
3028, 8, 7, 29syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) ) )
31 ax-his3 21679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  C  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .ih  D )  .h  C ) 
.ih  B )  =  ( ( x  .ih  D )  x.  ( C 
.ih  B ) ) )
3210, 11, 6, 31syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  D )  .h  C )  .ih  B
)  =  ( ( x  .ih  D )  x.  ( C  .ih  B ) ) )
3332oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A )  =  ( ( ( x  .ih  D )  x.  ( C  .ih  B ) )  .h  A
) )
34 hicl 21675 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( C  .ih  B
)  e.  CC )
3511, 6, 34syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( C  .ih  B
)  e.  CC )
36 ax-hvmulass 21603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  ( C  .ih  B )  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .ih  D )  x.  ( C 
.ih  B ) )  .h  A )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
3710, 35, 5, 36syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  D )  x.  ( C  .ih  B
) )  .h  A
)  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C 
.ih  B )  .h  A ) ) )
3833, 37eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A )  =  ( ( x 
.ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
3923, 30, 383eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A ) )
4016, 20, 393eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x ) )
4140ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) )
42 fco 5414 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H  /\  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) ) : ~H --> ~H )
4324, 17, 42syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) : ~H --> ~H )
44 kbop 22549 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )
4526, 44sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  C  e. 
~H )  /\  D  e.  ~H )  ->  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )
4645anasss 628 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( (
( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
47 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  Fn  ~H )
48 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H  ->  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D )  Fn  ~H )
49 eqfnfv 5638 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) )  Fn 
~H  /\  ( (
( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D )  Fn  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x ) ) )
5047, 48, 49syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) ) : ~H --> ~H  /\  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) ) )
5143, 46, 50syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( (
( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) ) )
5241, 51mpbird 223 1  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751    x. cmul 8758   ~Hchil 21515    .h csm 21517    .ih csp 21518    ketbra ck 21553
This theorem is referenced by:  kbass6  22717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-hilex 21595  ax-hfvmul 21601  ax-hvmulass 21603  ax-hfi 21674  ax-his3 21679
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-kb 22447
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