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Theorem kbass5 23624
Description: Dirac bra-ket associative law  (  |  A >.  <. B  |  ) (  |  C >.  <. D  | 
)  =  ( (  |  A >.  <. B  | 
)  |  C >. )
<. D  |. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbass5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) )

Proof of Theorem kbass5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kbval 23458 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( C  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )
213expa 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( C 
ketbra  D ) `  x
)  =  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )
32adantll 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( C  ketbra  D ) `  x )  =  ( ( x 
.ih  D )  .h  C ) )
43fveq2d 5733 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) ) )
5 simplll 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  ~H )
6 simpllr 737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  B  e.  ~H )
7 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
8 simplrr 739 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  D  e.  ~H )
9 hicl 22583 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  D
)  e.  CC )
107, 8, 9syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  D
)  e.  CC )
11 simplrl 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  C  e.  ~H )
12 hvmulcl 22517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  C )  e.  ~H )
1310, 11, 12syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  C )  e.  ~H )
14 kbval 23458 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  (
( x  .ih  D
)  .h  C )  e.  ~H )  -> 
( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D
)  .h  C ) 
.ih  B )  .h  A ) )
155, 6, 13, 14syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D
)  .h  C ) 
.ih  B )  .h  A ) )
164, 15eqtrd 2469 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A ) )
17 kbop 23457 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
1817adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
19 fvco3 5801 . . . . 5  |-  ( ( ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) ) )
2018, 19sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) ) )
21 kbval 23458 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  (
( A  ketbra  B ) `
 C )  =  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) )
225, 6, 11, 21syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  =  ( ( C 
.ih  B )  .h  A ) )
2322oveq2d 6098 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
24 kbop 23457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H )
2524ffvelrnda 5871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( A 
ketbra  B ) `  C
)  e.  ~H )
2625adantrr 699 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
2726adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
28 kbval 23458 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H  /\  D  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( ( ( A 
ketbra  B ) `  C
)  ketbra  D ) `  x )  =  ( ( x  .ih  D
)  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) ) )
2927, 8, 7, 28syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) ) )
30 ax-his3 22587 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  C  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .ih  D )  .h  C ) 
.ih  B )  =  ( ( x  .ih  D )  x.  ( C 
.ih  B ) ) )
3110, 11, 6, 30syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  D )  .h  C )  .ih  B
)  =  ( ( x  .ih  D )  x.  ( C  .ih  B ) ) )
3231oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A )  =  ( ( ( x  .ih  D )  x.  ( C  .ih  B ) )  .h  A
) )
33 hicl 22583 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( C  .ih  B
)  e.  CC )
3411, 6, 33syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( C  .ih  B
)  e.  CC )
35 ax-hvmulass 22511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  ( C  .ih  B )  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .ih  D )  x.  ( C 
.ih  B ) )  .h  A )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
3610, 34, 5, 35syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  D )  x.  ( C  .ih  B
) )  .h  A
)  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C 
.ih  B )  .h  A ) ) )
3732, 36eqtrd 2469 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A )  =  ( ( x 
.ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
3823, 29, 373eqtr4d 2479 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A ) )
3916, 20, 383eqtr4d 2479 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x ) )
4039ralrimiva 2790 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) )
41 fco 5601 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H  /\  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) ) : ~H --> ~H )
4224, 17, 41syl2an 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) : ~H --> ~H )
43 kbop 23457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )
4425, 43sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  C  e. 
~H )  /\  D  e.  ~H )  ->  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )
4544anasss 630 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( (
( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
46 ffn 5592 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  Fn  ~H )
47 ffn 5592 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H  ->  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D )  Fn  ~H )
48 eqfnfv 5828 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) )  Fn 
~H  /\  ( (
( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D )  Fn  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x ) ) )
4946, 47, 48syl2an 465 . . 3  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) ) : ~H --> ~H  /\  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) ) )
5042, 45, 49syl2anc 644 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( (
( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) ) )
5140, 50mpbird 225 1  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706    o. ccom 4883    Fn wfn 5450   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989    x. cmul 8996   ~Hchil 22423    .h csm 22425    .ih csp 22426    ketbra ck 22461
This theorem is referenced by:  kbass6  23625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-hilex 22503  ax-hfvmul 22509  ax-hvmulass 22511  ax-hfi 22582  ax-his3 22587
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-kb 23355
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