Theorem kbmult 9795

Description: Multiplication property of outer product.

Assertion

Ref	Expression
kbmult	|- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .h B) ketbra C) = (B ketbra ((*` A) .h C)))

Proof of Theorem kbmult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulass 8798	. . . . . . 7 |- (((x .ih C) e. CC /\ A e. CC /\ B e. H~) -> (((x .ih C) x. A) .h B) = ((x .ih C) .h (A .h B)))
2		hiclt 8868	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ C e. H~) -> (x .ih C) e. CC)
3	2	ancoms 436	. . . . . . . 8 |- ((C e. H~ /\ x e. H~) -> (x .ih C) e. CC)
4	3	3ad2antl3 809	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> (x .ih C) e. CC)
5		3simp1 786	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> A e. CC)
6	5	adantr 389	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> A e. CC)
7		3simp2 787	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> B e. H~)
8	7	adantr 389	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> B e. H~)
9	1, 4, 6, 8	syl3anc 856	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> (((x .ih C) x. A) .h B) = ((x .ih C) .h (A .h B)))
10		axmulcom 5248	. . . . . . . . . . 11 |- (((x .ih C) e. CC /\ A e. CC) -> ((x .ih C) x. A) = (A x. (x .ih C)))
11	10, 2	sylan 448	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. H~ /\ C e. H~) /\ A e. CC) -> ((x .ih C) x. A) = (A x. (x .ih C)))
12		his52t 8875	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ x e. H~ /\ C e. H~) -> (x .ih ((*` A) .h C)) = (A x. (x .ih C)))
13	12	3expb 832	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ (x e. H~ /\ C e. H~)) -> (x .ih ((*` A) .h C)) = (A x. (x .ih C)))
14	13	ancoms 436	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. H~ /\ C e. H~) /\ A e. CC) -> (x .ih ((*` A) .h C)) = (A x. (x .ih C)))
15	11, 14	eqtr4d 1502	. . . . . . . . 9 |- (((x e. H~ /\ C e. H~) /\ A e. CC) -> ((x .ih C) x. A) = (x .ih ((*` A) .h C)))
16	15	ancom31s 490	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> ((x .ih C) x. A) = (x .ih ((*` A) .h C)))
17	16	3adantl2 802	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> ((x .ih C) x. A) = (x .ih ((*` A) .h C)))
18	17	opreq1d 3960	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> (((x .ih C) x. A) .h B) = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))
19	9, 18	eqtr3d 1501	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> ((x .ih C) .h (A .h B)) = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))
20	19	eqeq2d 1478	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> (y = ((x .ih C) .h (A .h B)) <-> y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B)))
21	20	pm5.32da 647	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((x e. H~ /\ y = ((x .ih C) .h (A .h B))) <-> (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))))
22	21	opabbidv 2660	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih C) .h (A .h B)))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))})
23		kbvalt 9792	. . . 4 |- (((A .h B) e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .h B) ketbra C) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih C) .h (A .h B)))})
24		hvmulclt 8804	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (A .h B) e. H~)
25	23, 24	sylan 448	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ C e. H~) -> ((A .h B) ketbra C) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih C) .h (A .h B)))})
26	25	3impa 826	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .h B) ketbra C) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih C) .h (A .h B)))})
27		kbvalt 9792	. . . . 5 |- ((B e. H~ /\ ((*` A) .h C) e. H~) -> (B ketbra ((*` A) .h C)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))})
28		hvmulclt 8804	. . . . . 6 |- (((*` A) e. CC /\ C e. H~) -> ((*` A) .h C) e. H~)
29		cjclt 6696	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (*` A) e. CC)
30	28, 29	sylan 448	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ C e. H~) -> ((*` A) .h C) e. H~)
31	27, 30	sylan2 451	. . . 4 |- ((B e. H~ /\ (A e. CC /\ C e. H~)) -> (B ketbra ((*` A) .h C)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))})
32	31	3impb 827	. . 3 |- ((B e. H~ /\ A e. CC /\ C e. H~) -> (B ketbra ((*` A) .h C)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))})
33	32	3com12 835	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (B ketbra ((*` A) .h C)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))})
34	22, 26, 33	3eqtr4d 1509	1 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .h B) ketbra C) = (B ketbra ((*` A) .h C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  {copab 2656  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204   x. cmul 5211  *ccj 6680  H~chil 8727   .h csm 8729   .ih csp 8732   ketbra ck 8765

This theorem is referenced by:  kbass6t 9966

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulass 8798  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his3 8872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-kb 9694

Copyright terms: Public domain