Theorem kbopt 9872

Description: The outer product of two vectors, expressed as | A>. <.B | in Dirac notation, is an operator.

Assertion

Ref	Expression
kbopt	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A ketbra B):H~-->H~)

Proof of Theorem kbopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvmulclt 8878	. . . . . 6 |- (((x .ih B) e. CC /\ A e. H~) -> ((x .ih B) .h A) e. H~)
2		hiclt 8942	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ B e. H~) -> (x .ih B) e. CC)
3	1, 2	sylan 450	. . . . 5 |- (((x e. H~ /\ B e. H~) /\ A e. H~) -> ((x .ih B) .h A) e. H~)
4	3	ancom31s 493	. . . 4 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ x e. H~) -> ((x .ih B) .h A) e. H~)
5	4	r19.21aiva 1717	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> A.x e. H~ ((x .ih B) .h A) e. H~)
6		eqid 1478	. . . 4 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))}
7	6	fopab2 3829	. . 3 |- (A.x e. H~ ((x .ih B) .h A) e. H~ <-> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))}:H~-->H~)
8	5, 7	sylib 198	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))}:H~-->H~)
9		kbvalt 9871	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A ketbra B) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))})
10	9	feq1d 3630	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A ketbra B):H~-->H~ <-> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))}:H~-->H~))
11	8, 10	mpbird 196	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A ketbra B):H~-->H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  {copab 2671  -->wf 3184  (class class class)co 3969  CCcc 5244  H~chil 8783   .h csm 8785   .ih csp 8788   ketbra ck 8821

This theorem is referenced by:  kbpjt 9875  kbass5t 10048

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864  ax-hfvmul 8870  ax-hfi 8941

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-kb 9772

Copyright terms: Public domain