Theorem kbvalt 9833

Description: The outer product of two vectors, expressed as | A>. <.B | in Dirac notation. See df-kb 9734.

Assertion

Ref	Expression
kbvalt	|- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A ketbra B) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))})

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem kbvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8824	. . 3 |- H~ e. V
2	1	opabex2 3606	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))} e. V
3		opreq2 3964	. . . . 5 |- (z = A -> ((x .ih w) .h z) = ((x .ih w) .h A))
4	3	eqeq2d 1484	. . . 4 |- (z = A -> (y = ((x .ih w) .h z) <-> y = ((x .ih w) .h A)))
5	4	anbi2d 615	. . 3 |- (z = A -> ((x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h z)) <-> (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A))))
6	5	opabbidv 2666	. 2 |- (z = A -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h z))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A))})
7		opreq2 3964	. . . . . 6 |- (w = B -> (x .ih w) = (x .ih B))
8	7	opreq1d 3970	. . . . 5 |- (w = B -> ((x .ih w) .h A) = ((x .ih B) .h A))
9	8	eqeq2d 1484	. . . 4 |- (w = B -> (y = ((x .ih w) .h A) <-> y = ((x .ih B) .h A)))
10	9	anbi2d 615	. . 3 |- (w = B -> ((x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A)) <-> (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))))
11	10	opabbidv 2666	. 2 |- (w = B -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h A))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))})
12		df-kb 9734	. 2 |- ketbra = {<.<.z, w>., t>. | ((z e. H~ /\ w e. H~) /\ t = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih w) .h z))})}
13	2, 6, 11, 12	oprabval2 4023	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A ketbra B) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih B) .h A))})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  {copab 2662  (class class class)co 3958  H~chil 8743   .h csm 8745   .ih csp 8748   ketbra ck 8781

This theorem is referenced by:  kbopt 9834  kbvalvalt 9835  kbmult 9836  kbass2t 10006  kbass5t 10009

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-hilex 8824

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-kb 9734

Copyright terms: Public domain