Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenidm Structured version   Unicode version

Theorem kgenidm 17580
 Description: The compact generator is idempotent on compactly generated spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenidm 𝑘Gen 𝑘Gen

Proof of Theorem kgenidm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgenf 17574 . . . 4 𝑘Gen
2 ffn 5592 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen
3 fvelrnb 5775 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 𝑘Gen 𝑘Gen
5 eqid 2437 . . . . . . . . . . . 12
65toptopon 16999 . . . . . . . . . . 11 TopOn
7 kgentopon 17571 . . . . . . . . . . 11 TopOn 𝑘Gen TopOn
86, 7sylbi 189 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen TopOn
9 kgentopon 17571 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen TopOn 𝑘Gen𝑘Gen TopOn
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9 𝑘Gen𝑘Gen TopOn
11 toponss 16995 . . . . . . . . 9 𝑘Gen𝑘Gen TopOn 𝑘Gen𝑘Gen
1210, 11sylan 459 . . . . . . . 8 𝑘Gen𝑘Gen
13 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen𝑘Gen t 𝑘Gen𝑘Gen
14 kgencmp2 17579 . . . . . . . . . . . . . 14 t 𝑘Gent
1514biimpa 472 . . . . . . . . . . . . 13 t 𝑘Gent
1615ad2ant2rl 731 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen𝑘Gen t 𝑘Gent
17 kgeni 17570 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gent 𝑘Gent
1813, 16, 17syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen𝑘Gen t 𝑘Gent
19 kgencmp 17578 . . . . . . . . . . . 12 t t 𝑘Gent
2019ad2ant2rl 731 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen𝑘Gen t t 𝑘Gent
2118, 20eleqtrrd 2514 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen𝑘Gen t t
2221expr 600 . . . . . . . . 9 𝑘Gen𝑘Gen t t
2322ralrimiva 2790 . . . . . . . 8 𝑘Gen𝑘Gen t t
24 simpl 445 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen𝑘Gen
2524, 6sylib 190 . . . . . . . . 9 𝑘Gen𝑘Gen TopOn
26 elkgen 17569 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen t t
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen t t
2812, 23, 27mpbir2and 890 . . . . . . 7 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen
2928ex 425 . . . . . 6 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen
3029ssrdv 3355 . . . . 5 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen
31 fveq2 5729 . . . . . 6 𝑘Gen 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen
32 id 21 . . . . . 6 𝑘Gen 𝑘Gen
3331, 32sseq12d 3378 . . . . 5 𝑘Gen 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
3430, 33syl5ibcom 213 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen
3534rexlimiv 2825 . . 3 𝑘Gen 𝑘Gen
364, 35sylbi 189 . 2 𝑘Gen 𝑘Gen
37 kgentop 17575 . . 3 𝑘Gen
38 kgenss 17576 . . 3 𝑘Gen
3937, 38syl 16 . 2 𝑘Gen 𝑘Gen
4036, 39eqssd 3366 1 𝑘Gen 𝑘Gen
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2706  wrex 2707   cin 3320   wss 3321  cpw 3800  cuni 4016   crn 4880   wfn 5450  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082   ↾t crest 13649  ctop 16959  TopOnctopon 16960  ccmp 17450  𝑘Genckgen 17566 This theorem is referenced by:  iskgen2  17581  kgencn3  17591  txkgen  17685 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-fin 7114  df-fi 7417  df-rest 13651  df-topgen 13668  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-cmp 17451  df-kgen 17567
 Copyright terms: Public domain W3C validator