Theorem kmlem10 4746

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4.

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1	|- A = {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))}

Assertion

Ref	Expression
kmlem10	|- (A.h(A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> E.yA.z e. A ph)

Distinct variable groups:   x,y,z,w,u,t,h   y,A,z,w,h   ph,h

Proof of Theorem kmlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem9.1	. . 3 |- A = {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))}
2	1	kmlem9 4745	. 2 |- A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/))
3		visset 1804	. . . . 5 |- x e. V
4	3	abrexex 3845	. . . 4 |- {u | E.t e. x u = (t \ U.(x \ {t}))} e. V
5	1, 4	eqeltr 1536	. . 3 |- A e. V
6		raleq1 1778	. . . . 5 |- (h = A -> (A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) <-> A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/))))
7	6	raleqd 1783	. . . 4 |- (h = A -> (A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) <-> A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/))))
8		raleq1 1778	. . . . 5 |- (h = A -> (A.z e. h ph <-> A.z e. A ph))
9	8	exbidv 1274	. . . 4 |- (h = A -> (E.yA.z e. h ph <-> E.yA.z e. A ph))
10	7, 9	imbi12d 624	. . 3 |- (h = A -> ((A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) <-> (A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. A ph)))
11	5, 10	cla4v 1859	. 2 |- (A.h(A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> (A.z e. A A.w e. A (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. A ph))
12	2, 11	mpi 44	1 |- (A.h(A.z e. h A.w e. h (z =/= w -> (z i^i w) = (/)) -> E.yA.z e. h ph) -> E.yA.z e. A ph)

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 951   = wceq 953  E.wex 977  {cab 1456   =/= wne 1577  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   \ cdif 2034   i^i cin 2036  (/)c0 2270  {csn 2399  U.cuni 2493

This theorem is referenced by:  kmlem13 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188

Copyright terms: Public domain