Theorem kmlem4 4751

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4.

Assertion

Ref	Expression
kmlem4	|- ((w e. x /\ z =/= w) -> ((z \ U.(x \ {z})) i^i w) = (/))

Distinct variable group:   x,w,z

Proof of Theorem kmlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1810	. . . . . 6 |- w e. V
2		eleq1 1532	. . . . . . . 8 |- (v = w -> (v e. x <-> w e. x))
3		neeq2 1589	. . . . . . . 8 |- (v = w -> (z =/= v <-> z =/= w))
4	2, 3	anbi12d 627	. . . . . . 7 |- (v = w -> ((v e. x /\ z =/= v) <-> (w e. x /\ z =/= w)))
5		eleq2 1533	. . . . . . . 8 |- (v = w -> (y e. v <-> y e. w))
6	5	negbid 610	. . . . . . 7 |- (v = w -> (-. y e. v <-> -. y e. w))
7	4, 6	imbi12d 625	. . . . . 6 |- (v = w -> (((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v) <-> ((w e. x /\ z =/= w) -> -. y e. w)))
8	1, 7	cla4v 1865	. . . . 5 |- (A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v) -> ((w e. x /\ z =/= w) -> -. y e. w))
9	8	com12 11	. . . 4 |- ((w e. x /\ z =/= w) -> (A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v) -> -. y e. w))
10		eldif 2054	. . . . 5 |- (y e. (z \ U.(x \ {z})) <-> (y e. z /\ -. y e. U.(x \ {z})))
11		pm3.27 323	. . . . . 6 |- ((y e. z /\ -. y e. U.(x \ {z})) -> -. y e. U.(x \ {z}))
12		eluni 2502	. . . . . . . 8 |- (y e. U.(x \ {z}) <-> E.v(y e. v /\ v e. (x \ {z})))
13	12	negbii 187	. . . . . . 7 |- (-. y e. U.(x \ {z}) <-> -. E.v(y e. v /\ v e. (x \ {z})))
14		alnex 1032	. . . . . . 7 |- (A.v -. (y e. v /\ v e. (x \ {z})) <-> -. E.v(y e. v /\ v e. (x \ {z})))
15		bi2.03 165	. . . . . . . . 9 |- ((y e. v -> -. v e. (x \ {z})) <-> (v e. (x \ {z}) -> -. y e. v))
16		imnan 242	. . . . . . . . 9 |- ((y e. v -> -. v e. (x \ {z})) <-> -. (y e. v /\ v e. (x \ {z})))
17		eldifsn 2459	. . . . . . . . . . 11 |- (v e. (x \ {z}) <-> (v e. x /\ v =/= z))
18		necom 1634	. . . . . . . . . . . 12 |- (v =/= z <-> z =/= v)
19	18	anbi2i 480	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. x /\ v =/= z) <-> (v e. x /\ z =/= v))
20	17, 19	bitr 173	. . . . . . . . . 10 |- (v e. (x \ {z}) <-> (v e. x /\ z =/= v))
21	20	imbi1i 186	. . . . . . . . 9 |- ((v e. (x \ {z}) -> -. y e. v) <-> ((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
22	15, 16, 21	3bitr3 181	. . . . . . . 8 |- (-. (y e. v /\ v e. (x \ {z})) <-> ((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
23	22	albii 998	. . . . . . 7 |- (A.v -. (y e. v /\ v e. (x \ {z})) <-> A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
24	13, 14, 23	3bitr2 179	. . . . . 6 |- (-. y e. U.(x \ {z}) <-> A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
25	11, 24	sylib 198	. . . . 5 |- ((y e. z /\ -. y e. U.(x \ {z})) -> A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
26	10, 25	sylbi 199	. . . 4 |- (y e. (z \ U.(x \ {z})) -> A.v((v e. x /\ z =/= v) -> -. y e. v))
27	9, 26	syl5 21	. . 3 |- ((w e. x /\ z =/= w) -> (y e. (z \ U.(x \ {z})) -> -. y e. w))
28	27	r19.21aiv 1711	. 2 |- ((w e. x /\ z =/= w) -> A.y e. (z \ U.(x \ {z})) -. y e. w)
29		disj 2308	. 2 |- (((z \ U.(x \ {z})) i^i w) = (/) <-> A.y e. (z \ U.(x \ {z})) -. y e. w)
30	28, 29	sylibr 200	1 |- ((w e. x /\ z =/= w) -> ((z \ U.(x \ {z})) i^i w) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979   =/= wne 1583  A.wral 1643   \ cdif 2041   i^i cin 2043  (/)c0 2277  {csn 2406  U.cuni 2499

This theorem is referenced by:  kmlem5 4752  kmlem11 4758

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-12 967  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-nul 2278  df-sn 2409  df-pr 2410  df-uni 2500

Copyright terms: Public domain