HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem kmlem8 4752
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4.
Assertion
Ref Expression
kmlem8 |- ((-. E.z e. u A.w e. z ps -> E.yA.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y))) <-> (E.z e. u A.w e. z ps \/ E.y(-. y e. u /\ A.z e. u E!w w e. (z i^i y))))
Distinct variable group:   y,u,w,z
Proof of Theorem kmlem8
StepHypRef Expression
1 ralnex 1650 . . . . 5 |- (A.z e. u -. A.w e. z ps <-> -. E.z e. u A.w e. z ps)
2 df-rex 1647 . . . . . . . 8 |- (E.w e. z -. ps <-> E.w(w e. z /\ -. ps))
3 rexnal 1651 . . . . . . . 8 |- (E.w e. z -. ps <-> -. A.w e. z ps)
42, 3bitr3 175 . . . . . . 7 |- (E.w(w e. z /\ -. ps) <-> -. A.w e. z ps)
5 pm3.26 319 . . . . . . . . 9 |- ((w e. z /\ -. ps) -> w e. z)
6519.22i 1038 . . . . . . . 8 |- (E.w(w e. z /\ -. ps) -> E.w w e. z)
7 ne0 2284 . . . . . . . 8 |- (z =/= (/) <-> E.w w e. z)
86, 7sylibr 200 . . . . . . 7 |- (E.w(w e. z /\ -. ps) -> z =/= (/))
94, 8sylbir 201 . . . . . 6 |- (-. A.w e. z ps -> z =/= (/))
109r19.20si 1703 . . . . 5 |- (A.z e. u -. A.w e. z ps -> A.z e. u z =/= (/))
111, 10sylbir 201 . . . 4 |- (-. E.z e. u A.w e. z ps -> A.z e. u z =/= (/))
12 biimt 730 . . . . . . . . 9 |- (z =/= (/) -> (E!w w e. (z i^i y) <-> (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y))))
1312r19.20si 1703 . . . . . . . 8 |- (A.z e. u z =/= (/) -> A.z e. u (E!w w e. (z i^i y) <-> (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y))))
14 r19.15 1750 . . . . . . . 8 |- (A.z e. u (E!w w e. (z i^i y) <-> (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y))) -> (A.z e. u E!w w e. (z i^i y) <-> A.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y))))
1513, 14syl 10 . . . . . . 7 |- (A.z e. u z =/= (/) -> (A.z e. u E!w w e. (z i^i y) <-> A.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y))))
1615anbi2d 615 . . . . . 6 |- (A.z e. u z =/= (/) -> ((-. y e. u /\ A.z e. u E!w w e. (z i^i y)) <-> (-. y e. u /\ A.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y)))))
1716exbidv 1277 . . . . 5 |- (A.z e. u z =/= (/) -> (E.y(-. y e. u /\ A.z e. u E!w w e. (z i^i y)) <-> E.y(-. y e. u /\ A.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y)))))
18 kmlem2 4746 . . . . 5 |- (E.yA.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y)) <-> E.y(-. y e. u /\ A.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y))))
1917, 18syl6rbbr 538 . . . 4 |- (A.z e. u z =/= (/) -> (E.yA.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y)) <-> E.y(-. y e. u /\ A.z e. u E!w w e. (z i^i y))))
2011, 19syl 10 . . 3 |- (-. E.z e. u A.w e. z ps -> (E.yA.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y)) <-> E.y(-. y e. u /\ A.z e. u E!w w e. (z i^i y))))
2120pm5.74i 583 . 2 |- ((-. E.z e. u A.w e. z ps -> E.yA.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y))) <-> (-. E.z e. u A.w e. z ps -> E.y(-. y e. u /\ A.z e. u E!w w e. (z i^i y))))
22 pm4.64 226 . 2 |- ((-. E.z e. u A.w e. z ps -> E.y(-. y e. u /\ A.z e. u E!w w e. (z i^i y))) <-> (E.z e. u A.w e. z ps \/ E.y(-. y e. u /\ A.z e. u E!w w e. (z i^i y))))
2321, 22bitr 173 1 |- ((-. E.z e. u A.w e. z ps -> E.yA.z e. u (z =/= (/) -> E!w w e. (z i^i y))) <-> (E.z e. u A.w e. z ps \/ E.y(-. y e. u /\ A.z e. u E!w w e. (z i^i y))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   e. wcel 956  E.wex 978  E!weu 1378   =/= wne 1582  A.wral 1642  E.wrex 1643   i^i cin 2042  (/)c0 2276
This theorem is referenced by:  aceqkm 4761
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-uni 2499
Copyright terms: Public domain