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Theorem kmlem8 8037
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem8  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Distinct variable group:    y, u, w, z
Allowed substitution hints:    ps( y, z, w, u)

Proof of Theorem kmlem8
StepHypRef Expression
1 ralnex 2715 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  -.  A. w  e.  z  ps  <->  -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps )
2 df-rex 2711 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  z  -. 
ps 
<->  E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps ) )
3 rexnal 2716 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  z  -. 
ps 
<->  -.  A. w  e.  z  ps )
42, 3bitr3i 243 . . . . . . 7  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps ) 
<->  -.  A. w  e.  z  ps )
5 exsimpl 1602 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps )  ->  E. w  w  e.  z )
6 n0 3637 . . . . . . . 8  |-  ( z  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  z )
75, 6sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( E. w ( w  e.  z  /\  -.  ps )  ->  z  =/=  (/) )
84, 7sylbir 205 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. w  e.  z  ps  ->  z  =/=  (/) )
98ralimi 2781 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  -.  A. w  e.  z  ps 
->  A. z  e.  u  z  =/=  (/) )
101, 9sylbir 205 . . . 4  |-  ( -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  A. z  e.  u  z  =/=  (/) )
11 biimt 326 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =/=  (/)  ->  ( E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
1211ralimi 2781 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  A. z  e.  u  ( E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
13 ralbi 2842 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  u  ( E! w  w  e.  ( z  i^i  y
)  <->  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  ->  ( A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y )  <->  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( A. z  e.  u  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )  <->  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) )
1514anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y
) )  <->  ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) ) ) )
1615exbidv 1636 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) ) )
17 kmlem2 8031 . . . . 5  |-  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) )  <->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1816, 17syl6rbbr 256 . . . 4  |-  ( A. z  e.  u  z  =/=  (/)  ->  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
1910, 18syl 16 . . 3  |-  ( -. 
E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  ( E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
)  <->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2019pm5.74i 237 . 2  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
21 pm4.64 362 . 2  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y
( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) )  <-> 
( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
2220, 21bitri 241 1  |-  ( ( -.  E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  ->  E. y A. z  e.  u  ( z  =/=  (/)  ->  E! w  w  e.  (
z  i^i  y )
) )  <->  ( E. z  e.  u  A. w  e.  z  ps  \/  E. y ( -.  y  e.  u  /\  A. z  e.  u  E! w  w  e.  ( z  i^i  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725   E!weu 2281    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    i^i cin 3319   (/)c0 3628
This theorem is referenced by:  dfackm  8046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-sn 3820  df-pr 3821  df-uni 4016
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