MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsberg Unicode version

Theorem konigsberg 21697
Description: The Konigsberg Bridge problem. If  <. V ,  E >. is the graph on four vertices  0 ,  1 ,  2 ,  3, with edges  { 0 ,  1 } ,  { 0 ,  2 } ,  { 0 ,  3 } ,  {
1 ,  2 } ,  { 1 ,  2 } ,  {
2 ,  3 } ,  { 2 ,  3 }, then vertices  0 ,  1 ,  3 each have degree three, and  2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eupath 21691 the graph cannot have an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
konigsberg.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
konigsberg  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)

Proof of Theorem konigsberg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 7372 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
2 3ne0 10074 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3 1re 9079 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
4 1lt3 10133 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
53, 4gtneii 9174 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
62, 5nelpri 3827 . . . . . 6  |-  -.  3  e.  { 0 ,  1 }
7 3nn0 10228 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
8 hashunsng 11653 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) ) )
97, 8ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) )
101, 6, 9mp2an 654 . . . . 5  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
11 df-3 10048 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
12 ax-1ne0 9048 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
1312necomi 2680 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
14 0nn0 10225 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
15 1nn0 10226 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
16 hashprg 11654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
1714, 15, 16mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
1813, 17mpbi 200 . . . . . . 7  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
1918oveq1i 6082 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { 0 ,  1 } )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
2011, 19eqtr4i 2458 . . . . 5  |-  3  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
2110, 20eqtr4i 2458 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  3
22 konigsberg.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
23 fzfi 11299 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
2422, 23eqeltri 2505 . . . . . . 7  |-  V  e. 
Fin
25 ssrab2 3420 . . . . . . 7  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  C_  V
26 ssfi 7320 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  C_  V )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )
2724, 25, 26mp2an 654 . . . . . 6  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin
28 nn0uz 10509 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
297, 28eleqtri 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
30 eluzfz1 11053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... 3
) )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 ... 3
)
3231, 22eleqtrri 2508 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  V
33 2nn 10122 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
34 1nn 10000 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
35 2cn 10059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
3635mulid1i 9081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3736oveq1i 6082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
3837, 11eqtr4i 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
39 1lt2 10131 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
4033, 15, 34, 38, 39ndvdsi 12918 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  3
41 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 0 ) )
4224elexi 2957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  e. 
_V
43 df-s6 11804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> concat 
<" { 2 ,  3 } "> )
44 df-s5 11803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 } ">  =  (
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> concat  <" {
1 ,  2 } "> )
45 df-s4 11802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> concat  <" { 1 ,  2 } "> )
46 df-s3 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } "> concat  <" {
0 ,  3 } "> )
47 df-s2 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 } "> concat 
<" { 0 ,  2 } "> )
48 3re 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  RR
493, 48, 4ltleii 9185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <_  3
5015, 28eleqtri 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
517nn0zi 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  ZZ
52 elfz5 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 ) )
5350, 51, 52mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 )
5449, 53mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ( 0 ... 3
)
5554, 22eleqtrri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  V
5642, 32, 55umgrabi 21693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  T. 
->  { 0 ,  1 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
5756s1cld 11744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
58 2re 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
59 2lt3 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  3
6058, 48, 59ltleii 9185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  3
61 2nn0 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  NN0
6261, 28eleqtri 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ( ZZ>= `  0 )
63 elfz5 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 ) )
6462, 51, 63mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 )
6560, 64mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ( 0 ... 3
)
6665, 22eleqtrri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  V
6742, 32, 66umgrabi 21693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  T. 
->  { 0 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
6847, 57, 67cats1cld 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
69 eluzfz2 11054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  3  e.  ( 0 ... 3
) )
7029, 69ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  ( 0 ... 3
)
7170, 22eleqtrri 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  V
7242, 32, 71umgrabi 21693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  T. 
->  { 0 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7346, 68, 72cats1cld 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } )
7442, 55, 66umgrabi 21693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  T. 
->  { 1 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7545, 73, 74cats1cld 11807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7644, 75, 74cats1cld 11807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7742, 66, 71umgrabi 21693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  { 2 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7843, 76, 77cats1cld 11807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
79 wrd0 11720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  T. 
->  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
8142, 32vdeg0i 21692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  0
)  =  0
82 1e0p1 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =  ( 0  +  1 )
83 s0s1 11857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <" {
0 ,  1 } ">  =  (
(/) concat  <" { 0 ,  1 } "> )
8442, 80, 32, 81, 82, 55, 12, 83vdegp1bi 21695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  0 )  =  1
85 df-2 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
86 2ne0 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
8742, 57, 32, 84, 85, 66, 86, 47vdegp1bi 21695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
0 )  =  2
8842, 68, 32, 87, 11, 71, 2, 46vdegp1bi 21695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  0 )  =  3
8942, 73, 32, 88, 55, 12, 66, 86, 45vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
9042, 75, 32, 89, 55, 12, 66, 86, 44vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
9142, 76, 32, 90, 66, 86, 71, 2, 43vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
0 )  =  3
92 konigsberg.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
93 df-s7 11805 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> concat  <" {
2 ,  3 } "> )
9492, 93eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> concat  <" {
2 ,  3 } "> )
9542, 78, 32, 91, 66, 86, 71, 2, 94vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
0 )  =  3
9641, 95syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
9796breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
9897notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
9998elrab 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 0  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
10032, 40, 99mpbir2an 887 . . . . . . . 8  |-  0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
101 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 1 ) )
10242, 55vdeg0i 21692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  1
)  =  0
10342, 80, 55, 102, 82, 32, 13, 83vdegp1ci 21696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  1 )  =  1
1043, 39gtneii 9174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  1
10542, 57, 55, 103, 32, 13, 66, 104, 47vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
1 )  =  1
10642, 68, 55, 105, 32, 13, 71, 5, 46vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  1 )  =  1
10742, 73, 55, 106, 85, 66, 104, 45vdegp1bi 21695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  2
10842, 75, 55, 107, 11, 66, 104, 44vdegp1bi 21695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  3
10942, 76, 55, 108, 66, 104, 71, 5, 43vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
1 )  =  3
11042, 78, 55, 109, 66, 104, 71, 5, 94vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
1 )  =  3
111101, 110syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
112111breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
113112notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
114113elrab 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 1  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
11555, 40, 114mpbir2an 887 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
116 prssi 3946 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  /\  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  ->  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )
117100, 115, 116mp2an 654 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }
118 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 3 ) )
11942, 71vdeg0i 21692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  3
)  =  0
120 0re 9080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
121 3pos 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  3
122120, 121ltneii 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  =/=  3
1233, 4ltneii 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  3
12442, 80, 71, 119, 32, 122, 55, 123, 83vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  3 )  =  0
12558, 59ltneii 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  3
12642, 57, 71, 124, 32, 122, 66, 125, 47vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
3 )  =  0
12742, 68, 71, 126, 82, 32, 122, 46vdegp1ci 21696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  3 )  =  1
12842, 73, 71, 127, 55, 123, 66, 125, 45vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
12942, 75, 71, 128, 55, 123, 66, 125, 44vdegp1ai 21694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
13042, 76, 71, 129, 85, 66, 125, 43vdegp1ci 21696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
3 )  =  2
13142, 78, 71, 130, 11, 66, 125, 94vdegp1ci 21696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
3 )  =  3
132118, 131syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
133132breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  3  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
134133notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  3  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
135134elrab 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 3  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
13671, 40, 135mpbir2an 887 . . . . . . . 8  |-  3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
137 snssi 3934 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }  ->  { 3 } 
C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
138136, 137ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  { 3 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
139117, 138unssi 3514 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
140 ssdomg 7144 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } ) )
14127, 139, 140mp2 9 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }
142 snfi 7178 . . . . . . 7  |-  { 3 }  e.  Fin
143 unfi 7365 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  { 3 }  e.  Fin )  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e. 
Fin )
1441, 142, 143mp2an 654 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e.  Fin
145 hashdom 11641 . . . . . 6  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <-> 
( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } ) )
146144, 27, 145mp2an 654 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  <_  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <->  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
147141, 146mpbir 201 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
14821, 147eqbrtrri 4225 . . 3  |-  3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
149 hashcl 11627 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0 )
15027, 149ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0
151150nn0rei 10221 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  RR
15248, 151lenlti 9182 . . 3  |-  ( 3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <->  -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
153148, 152mpbi 200 . 2  |-  -.  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
154 eupath 21691 . . . 4  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  e.  {
0 ,  2 } )
155 elpri 3826 . . . 4  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  e. 
{ 0 ,  2 }  ->  ( ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 ) )
156 id 20 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0 )
157156, 121syl6eqbr 4241 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
158 id 20 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 )
159158, 59syl6eqbr 4241 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
160157, 159jaoi 369 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  2 )  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
161154, 155, 1603syl 19 . . 3  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
)
162161necon1bi 2641 . 2  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3  ->  ( V EulPaths  E )  =  (/) )
163153, 162ax-mp 8 1  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   {cpr 3807   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ~<_ cdom 7098   Fincfn 7100   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982    x. cmul 8984    < clt 9109    <_ cle 9110   2c2 10038   3c3 10039   NN0cn0 10210   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   ...cfz 11032   #chash 11606  Word cword 11705   concat cconcat 11706   <"cs1 11707   <"cs2 11793   <"cs3 11794   <"cs4 11795   <"cs5 11796   <"cs6 11797   <"cs7 11798    || cdivides 12840   VDeg cvdg 21652   EulPaths ceup 21672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-2o 6716  df-oadd 6719  df-er 6896  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-card 7815  df-cda 8037  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-xadd 10700  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-word 11711  df-concat 11712  df-s1 11713  df-s2 11800  df-s3 11801  df-s4 11802  df-s5 11803  df-s6 11804  df-s7 11805  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-dvds 12841  df-prm 13068  df-umgra 21336  df-vdgr 21653  df-eupa 21673
  Copyright terms: Public domain W3C validator