Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  konigsberg Unicode version

Theorem konigsberg 23283
Description: The Konigsberg Bridge problem. If  <. V ,  E >. is the graph on four vertices  0 ,  1 ,  2 ,  3, with edges  { 0 ,  1 } ,  { 0 ,  2 } ,  { 0 ,  3 } ,  {
1 ,  2 } ,  { 1 ,  2 } ,  {
2 ,  3 } ,  { 2 ,  3 }, then vertices  0 ,  1 ,  3 each have degree three, and  2 has degree five, so there are four vertices of odd degree and thus by eupath 23277 the graph cannot have an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
konigsberg.e  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
Assertion
Ref Expression
konigsberg  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)

Proof of Theorem konigsberg
StepHypRef Expression
1 prfi 7099 . . . . . 6  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
2 3ne0 9799 . . . . . . 7  |-  3  =/=  0
3 1re 8805 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
4 1lt3 9855 . . . . . . . 8  |-  1  <  3
53, 4gtneii 8898 . . . . . . 7  |-  3  =/=  1
62, 5nelpri 3635 . . . . . 6  |-  -.  3  e.  { 0 ,  1 }
7 3nn0 9950 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN0
8 hashunsng 11332 . . . . . . 7  |-  ( 3  e.  NN0  ->  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) ) )
97, 8ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  -.  3  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  =  ( ( # `  {
0 ,  1 } )  +  1 ) )
101, 6, 9mp2an 656 . . . . 5  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
11 df-3 9773 . . . . . 6  |-  3  =  ( 2  +  1 )
12 ax-1ne0 8774 . . . . . . . . 9  |-  1  =/=  0
1312necomi 2503 . . . . . . . 8  |-  0  =/=  1
14 0nn0 9947 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
15 1nn0 9948 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN0
16 hashprg 11333 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( 0  =/=  1  <->  (
# `  { 0 ,  1 } )  =  2 ) )
1714, 15, 16mp2an 656 . . . . . . . 8  |-  ( 0  =/=  1  <->  ( # `  {
0 ,  1 } )  =  2 )
1813, 17mpbi 201 . . . . . . 7  |-  ( # `  { 0 ,  1 } )  =  2
1918oveq1i 5802 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { 0 ,  1 } )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
2011, 19eqtr4i 2281 . . . . 5  |-  3  =  ( ( # `  { 0 ,  1 } )  +  1 )
2110, 20eqtr4i 2281 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  =  3
22 konigsberg.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( 0 ... 3
)
23 fzfi 11000 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
2422, 23eqeltri 2328 . . . . . . 7  |-  V  e. 
Fin
25 ssrab2 3233 . . . . . . 7  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  C_  V
26 ssfi 7051 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  C_  V )  ->  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )
2724, 25, 26mp2an 656 . . . . . 6  |-  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin
28 nn0uz 10229 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
297, 28eleqtri 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
30 eluzfz1 10769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... 3
) )
3129, 30ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 ... 3
)
3231, 22eleqtrri 2331 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  V
33 2nn 9844 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
34 1nn 9725 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
35 2cn 9784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  CC
3635mulid1i 8807 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
3736oveq1i 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
3837, 11eqtr4i 2281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
39 1lt2 9853 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  2
4033, 15, 34, 38, 39ndvdsi 12571 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  3
41 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 0 ) )
4224elexi 2772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  e. 
_V
43 df-s6 11467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> concat 
<" { 2 ,  3 } "> )
44 df-s5 11466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 } ">  =  (
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> concat  <" {
1 ,  2 } "> )
45 df-s4 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> concat  <" { 1 ,  2 } "> )
46 df-s3 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } "> concat  <" {
0 ,  3 } "> )
47 df-s2 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 } ">  =  ( <" { 0 ,  1 } "> concat 
<" { 0 ,  2 } "> )
48 3re 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  RR
493, 48, 4ltleii 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  <_  3
5015, 28eleqtri 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
517nn0zi 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  ZZ
52 elfz5 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 ) )
5350, 51, 52mp2an 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  e.  ( 0 ... 3 )  <->  1  <_  3 )
5449, 53mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ( 0 ... 3
)
5554, 22eleqtrri 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  V
5642, 32, 55umgrabi 23279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  T. 
->  { 0 ,  1 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
5756s1cld 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
58 2re 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  RR
59 2lt3 9854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  <  3
6058, 48, 59ltleii 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  3
61 2nn0 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  NN0
6261, 28eleqtri 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ( ZZ>= `  0 )
63 elfz5 10756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  3  e.  ZZ )  ->  (
2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 ) )
6462, 51, 63mp2an 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  ( 0 ... 3 )  <->  2  <_  3 )
6560, 64mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ( 0 ... 3
)
6665, 22eleqtrri 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  V
6742, 32, 66umgrabi 23279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (  T. 
->  { 0 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
6847, 57, 67cats1cld 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
69 eluzfz2 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  3  e.  ( 0 ... 3
) )
7029, 69ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e.  ( 0 ... 3
)
7170, 22eleqtrri 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  3  e.  V
7242, 32, 71umgrabi 23279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  T. 
->  { 0 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7346, 68, 72cats1cld 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x )  <_  2 } )
7442, 55, 66umgrabi 23279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  T. 
->  { 1 ,  2 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7545, 73, 74cats1cld 11470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7644, 75, 74cats1cld 11470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/)
} )  |  (
# `  x )  <_  2 } )
7742, 66, 71umgrabi 23279 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  T. 
->  { 2 ,  3 }  e.  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
7843, 76, 77cats1cld 11470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  T. 
->  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } ">  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
79 wrd0 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
8079a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  T. 
->  (/)  e. Word  { x  e.  ( ~P V  \  { (/) } )  |  ( # `  x
)  <_  2 }
)
8142, 32vdeg0i 23278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  0
)  =  0
82 1e0p1 10119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =  ( 0  +  1 )
83 s0s1 11514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <" {
0 ,  1 } ">  =  (
(/) concat  <" { 0 ,  1 } "> )
8442, 80, 32, 81, 82, 55, 12, 83vdegp1bi 23281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  0 )  =  1
85 df-2 9772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
86 2ne0 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  0
8742, 57, 32, 84, 85, 66, 86, 47vdegp1bi 23281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
0 )  =  2
8842, 68, 32, 87, 11, 71, 2, 46vdegp1bi 23281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  0 )  =  3
8942, 73, 32, 88, 55, 12, 66, 86, 45vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
9042, 75, 32, 89, 55, 12, 66, 86, 44vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  0 )  =  3
9142, 76, 32, 90, 66, 86, 71, 2, 43vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
0 )  =  3
92 konigsberg.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  E  = 
<" { 0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  {
0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  {
2 ,  3 } ">
93 df-s7 11468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 }  { 2 ,  3 } ">  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> concat  <" {
2 ,  3 } "> )
9492, 93eqtri 2278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( <" {
0 ,  1 }  { 0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  {
1 ,  2 }  { 2 ,  3 } "> concat  <" {
2 ,  3 } "> )
9542, 78, 32, 91, 66, 86, 71, 2, 94vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
0 )  =  3
9641, 95syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  0  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
9796breq2d 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  0  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
9897notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
9998elrab 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 0  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
10032, 40, 99mpbir2an 891 . . . . . . . 8  |-  0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
101 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 1 ) )
10242, 55vdeg0i 23278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  1
)  =  0
10342, 80, 55, 102, 82, 32, 13, 83vdegp1ci 23282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  1 )  =  1
1043, 39gtneii 8898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  1
10542, 57, 55, 103, 32, 13, 66, 104, 47vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
1 )  =  1
10642, 68, 55, 105, 32, 13, 71, 5, 46vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  1 )  =  1
10742, 73, 55, 106, 85, 66, 104, 45vdegp1bi 23281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  2
10842, 75, 55, 107, 11, 66, 104, 44vdegp1bi 23281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  1 )  =  3
10942, 76, 55, 108, 66, 104, 71, 5, 43vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
1 )  =  3
11042, 78, 55, 109, 66, 104, 71, 5, 94vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
1 )  =  3
111101, 110syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
112111breq2d 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  1  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
113112notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  1  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
114113elrab 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 1  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
11555, 40, 114mpbir2an 891 . . . . . . . 8  |-  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
116 prssi 3745 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  /\  1  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  ->  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )
117100, 115, 116mp2an 656 . . . . . . 7  |-  { 0 ,  1 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }
118 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  ( ( V VDeg  E ) `
 3 ) )
11942, 71vdeg0i 23278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( V VDeg  (/) ) `  3
)  =  0
120 0re 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
121 3pos 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <  3
122120, 121ltneii 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  0  =/=  3
1233, 4ltneii 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  3
12442, 80, 71, 119, 32, 122, 55, 123, 83vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 } "> ) `  3 )  =  0
12558, 59ltneii 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =/=  3
12642, 57, 71, 124, 32, 122, 66, 125, 47vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 } "> ) ` 
3 )  =  0
12742, 68, 71, 126, 82, 32, 122, 46vdegp1ci 23282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 } "> ) `  3 )  =  1
12842, 73, 71, 127, 55, 123, 66, 125, 45vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
12942, 75, 71, 128, 55, 123, 66, 125, 44vdegp1ai 23280 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 } "> ) `  3 )  =  1
13042, 76, 71, 129, 85, 66, 125, 43vdegp1ci 23282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V VDeg  <" { 0 ,  1 }  {
0 ,  2 }  { 0 ,  3 }  { 1 ,  2 }  { 1 ,  2 }  {
2 ,  3 } "> ) ` 
3 )  =  2
13142, 78, 71, 130, 11, 66, 125, 94vdegp1ci 23282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( V VDeg  E ) ` 
3 )  =  3
132118, 131syl6eq 2306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  3  ->  (
( V VDeg  E ) `  x )  =  3 )
133132breq2d 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  3  ->  (
2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x
)  <->  2  ||  3
) )
134133notbid 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  3  ->  ( -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x )  <->  -.  2  ||  3 ) )
135134elrab 2898 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } 
<->  ( 3  e.  V  /\  -.  2  ||  3
) )
13671, 40, 135mpbir2an 891 . . . . . . . 8  |-  3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) }
137 snssi 3733 . . . . . . . 8  |-  ( 3  e.  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }  ->  { 3 } 
C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
138136, 137ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  { 3 }  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
139117, 138unssi 3325 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }
140 ssdomg 6875 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  C_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } ) )
14127, 139, 140mp2 19 . . . . 5  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) }
142 snfi 6909 . . . . . . 7  |-  { 3 }  e.  Fin
143 unfi 7092 . . . . . . 7  |-  ( ( { 0 ,  1 }  e.  Fin  /\  { 3 }  e.  Fin )  ->  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e. 
Fin )
1441, 142, 143mp2an 656 . . . . . 6  |-  ( { 0 ,  1 }  u.  { 3 } )  e.  Fin
145 hashdom 11327 . . . . . 6  |-  ( ( ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  e. 
Fin  /\  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) }  e.  Fin )  ->  ( ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <-> 
( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } ) )
146144, 27, 145mp2an 656 . . . . 5  |-  ( (
# `  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } ) )  <_  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <->  ( {
0 ,  1 }  u.  { 3 } )  ~<_  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )
147141, 146mpbir 202 . . . 4  |-  ( # `  ( { 0 ,  1 }  u.  {
3 } ) )  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
14821, 147eqbrtrri 4018 . . 3  |-  3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )
149 hashcl 11316 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) }  e.  Fin  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0 )
15027, 149ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  NN0
151150nn0rei 9943 . . . 4  |-  ( # `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  (
( V VDeg  E ) `  x ) } )  e.  RR
15248, 151lenlti 8906 . . 3  |-  ( 3  <_  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <->  -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
153148, 152mpbi 201 . 2  |-  -.  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
154 eupath 23277 . . . 4  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  e.  {
0 ,  2 } )
155 elpri 3634 . . . 4  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  e. 
{ 0 ,  2 }  ->  ( ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 ) )
156 id 21 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0 )
157156, 121syl6eqbr 4034 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  0  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
158 id 21 . . . . . 6  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  2 )
159158, 59syl6eqbr 4034 . . . . 5  |-  ( (
# `  { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg 
E ) `  x
) } )  =  2  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
160157, 159jaoi 370 . . . 4  |-  ( ( ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  =  0  \/  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  =  2 )  ->  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3 )
161154, 155, 1603syl 20 . . 3  |-  ( ( V EulPaths  E )  =/=  (/)  ->  ( # `
 { x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E
) `  x ) } )  <  3
)
162161necon1bi 2464 . 2  |-  ( -.  ( # `  {
x  e.  V  |  -.  2  ||  ( ( V VDeg  E ) `  x ) } )  <  3  ->  ( V EulPaths  E )  =  (/) )
163153, 162ax-mp 10 1  |-  ( V EulPaths  E )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   {crab 2522    \ cdif 3124    u. cun 3125    C_ wss 3127   (/)c0 3430   ~Pcpw 3599   {csn 3614   {cpr 3615   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    ~<_ cdom 6829   Fincfn 6831   0cc0 8705   1c1 8706    + caddc 8708    x. cmul 8710    < clt 8835    <_ cle 8836   2c2 9763   3c3 9764   NN0cn0 9932   ZZcz 9991   ZZ>=cuz 10197   ...cfz 10748   #chash 11303  Word cword 11368   concat cconcat 11369   <"cs1 11370   <"cs2 11456   <"cs3 11457   <"cs4 11458   <"cs5 11459   <"cs6 11460   <"cs7 11461    || cdivides 12493   EulPaths ceup 23233   VDeg cvdg 23234
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-er 6628  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-card 7540  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-rp 10322  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-word 11374  df-concat 11375  df-s1 11376  df-s2 11463  df-s3 11464  df-s4 11465  df-s5 11466  df-s6 11467  df-s7 11468  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-divides 12494  df-prime 12721  df-umgra 23235  df-eupa 23236  df-vdgr 23237
  Copyright terms: Public domain W3C validator