Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  l1cvat Unicode version

Theorem l1cvat 28375
Description: Create an atom under an element covered by the lattice unit. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (1cvrat 28795 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
l1cvat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
l1cvat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
l1cvat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
l1cvat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
l1cvat.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
l1cvat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
l1cvat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
l1cvat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
l1cvat.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
l1cvat.n  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
l1cvat.l  |-  ( ph  ->  U C V )
l1cvat.m  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
Assertion
Ref Expression
l1cvat  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  e.  A )

Proof of Theorem l1cvat
StepHypRef Expression
1 l1cvat.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15786 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lmodabl 15599 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
6 l1cvat.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
76lsssssubg 15642 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
83, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
9 l1cvat.a . . . . . . 7  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
10 l1cvat.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
116, 9, 3, 10lsatlssel 28317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
128, 11sseldd 3123 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
13 l1cvat.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
146, 9, 3, 13lsatlssel 28317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
158, 14sseldd 3123 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
16 l1cvat.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1716lsmcom 15077 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
185, 12, 15, 17syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
1918ineq1d 3311 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  =  ( ( R 
.(+)  Q )  i^i  U
) )
20 incom 3303 . . 3  |-  ( ( R  .(+)  Q )  i^i  U )  =  ( U  i^i  ( R 
.(+)  Q ) )
2119, 20syl6eq 2304 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  =  ( U  i^i  ( R  .(+)  Q ) ) )
22 l1cvat.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
23 l1cvat.n . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
2423necomd 2502 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =/=  Q )
25 l1cvat.m . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
26 l1cvat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2726, 9, 3, 13lsatssv 28318 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  C_  V )
28 l1cvat.c . . . . 5  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
29 l1cvat.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  U C V )
3026, 6, 16, 9, 28, 1, 22, 10, 29, 25l1cvpat 28374 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  Q )  =  V )
3127, 30sseqtr4d 3157 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  ( U  .(+) 
Q ) )
326, 16, 9, 1, 22, 13, 10, 24, 25, 31lsatcvat3 28372 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( R  .(+)  Q ) )  e.  A )
3321, 32eqeltrd 2330 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419    i^i cin 3093    C_ wss 3094   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075  SubGrpcsubg 14542   LSSumclsm 14872   Abelcabel 15017   LModclmod 15554   LSubSpclss 15616   LVecclvec 15782  LSAtomsclsa 28294    <oLL clcv 28338
This theorem is referenced by:  lshpat  28376
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-0g 13331  df-mre 13415  df-mrc 13416  df-acs 13418  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-subg 14545  df-cntz 14720  df-oppg 14746  df-lsm 14874  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-drng 15441  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-lvec 15783  df-lsatoms 28296  df-lshyp 28297  df-lcv 28339
  Copyright terms: Public domain W3C validator