Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  l1cvat Unicode version

Theorem l1cvat 29318
Description: Create an atom under an element covered by the lattice unit. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (1cvrat 29738 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
l1cvat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
l1cvat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
l1cvat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
l1cvat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
l1cvat.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
l1cvat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
l1cvat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
l1cvat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
l1cvat.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
l1cvat.n  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
l1cvat.l  |-  ( ph  ->  U C V )
l1cvat.m  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
Assertion
Ref Expression
l1cvat  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  e.  A )

Proof of Theorem l1cvat
StepHypRef Expression
1 l1cvat.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 15861 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lmodabl 15674 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
53, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
6 l1cvat.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
76lsssssubg 15717 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
83, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
9 l1cvat.a . . . . . . 7  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
10 l1cvat.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
116, 9, 3, 10lsatlssel 29260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
128, 11sseldd 3183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
13 l1cvat.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
146, 9, 3, 13lsatlssel 29260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
158, 14sseldd 3183 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
16 l1cvat.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1716lsmcom 15152 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
185, 12, 15, 17syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
1918ineq1d 3371 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  =  ( ( R 
.(+)  Q )  i^i  U
) )
20 incom 3363 . . 3  |-  ( ( R  .(+)  Q )  i^i  U )  =  ( U  i^i  ( R 
.(+)  Q ) )
2119, 20syl6eq 2333 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  =  ( U  i^i  ( R  .(+)  Q ) ) )
22 l1cvat.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
23 l1cvat.n . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
2423necomd 2531 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =/=  Q )
25 l1cvat.m . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
26 l1cvat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2726, 9, 3, 13lsatssv 29261 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  C_  V )
28 l1cvat.c . . . . 5  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
29 l1cvat.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  U C V )
3026, 6, 16, 9, 28, 1, 22, 10, 29, 25l1cvpat 29317 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  Q )  =  V )
3127, 30sseqtr4d 3217 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  ( U  .(+) 
Q ) )
326, 16, 9, 1, 22, 13, 10, 24, 25, 31lsatcvat3 29315 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( R  .(+)  Q ) )  e.  A )
3321, 32eqeltrd 2359 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448    i^i cin 3153    C_ wss 3154   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150  SubGrpcsubg 14617   LSSumclsm 14947   Abelcabel 15092   LModclmod 15629   LSubSpclss 15691   LVecclvec 15857  LSAtomsclsa 29237    <oLL clcv 29281
This theorem is referenced by:  lshpat  29319
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-0g 13406  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-subg 14620  df-cntz 14795  df-oppg 14821  df-lsm 14949  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-drng 15516  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lsp 15731  df-lvec 15858  df-lsatoms 29239  df-lshyp 29240  df-lcv 29282
  Copyright terms: Public domain W3C validator