Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  l1cvat Unicode version

Theorem l1cvat 29170
Description: Create an atom under an element covered by the lattice unit. Part of proof of Lemma B in [Crawley] p. 112. (1cvrat 29590 analog.) (Contributed by NM, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
l1cvat.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
l1cvat.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
l1cvat.p  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
l1cvat.a  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
l1cvat.c  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
l1cvat.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
l1cvat.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
l1cvat.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
l1cvat.r  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
l1cvat.n  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
l1cvat.l  |-  ( ph  ->  U C V )
l1cvat.m  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
Assertion
Ref Expression
l1cvat  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  e.  A )

Proof of Theorem l1cvat
StepHypRef Expression
1 l1cvat.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 16105 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 lmodabl 15918 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
6 l1cvat.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
76lsssssubg 15961 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
83, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
9 l1cvat.a . . . . . . 7  |-  A  =  (LSAtoms `  W )
10 l1cvat.q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
116, 9, 3, 10lsatlssel 29112 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  e.  S )
128, 11sseldd 3292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Q  e.  (SubGrp `  W ) )
13 l1cvat.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
146, 9, 3, 13lsatlssel 29112 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  S )
158, 14sseldd 3292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  (SubGrp `  W ) )
16 l1cvat.p . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
1716lsmcom 15400 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  Q  e.  (SubGrp `  W )  /\  R  e.  (SubGrp `  W ) )  -> 
( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
185, 12, 15, 17syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  .(+)  R )  =  ( R  .(+)  Q ) )
1918ineq1d 3484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  =  ( ( R 
.(+)  Q )  i^i  U
) )
20 incom 3476 . . 3  |-  ( ( R  .(+)  Q )  i^i  U )  =  ( U  i^i  ( R 
.(+)  Q ) )
2119, 20syl6eq 2435 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  =  ( U  i^i  ( R  .(+)  Q ) ) )
22 l1cvat.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
23 l1cvat.n . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  =/=  R )
2423necomd 2633 . . 3  |-  ( ph  ->  R  =/=  Q )
25 l1cvat.m . . 3  |-  ( ph  ->  -.  Q  C_  U
)
26 l1cvat.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
2726, 9, 3, 13lsatssv 29113 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  C_  V )
28 l1cvat.c . . . . 5  |-  C  =  (  <oLL  `  W )
29 l1cvat.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  U C V )
3026, 6, 16, 9, 28, 1, 22, 10, 29, 25l1cvpat 29169 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  .(+)  Q )  =  V )
3127, 30sseqtr4d 3328 . . 3  |-  ( ph  ->  R  C_  ( U  .(+) 
Q ) )
326, 16, 9, 1, 22, 13, 10, 24, 25, 31lsatcvat3 29167 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  i^i  ( R  .(+)  Q ) )  e.  A )
3321, 32eqeltrd 2461 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .(+)  R )  i^i  U )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550    i^i cin 3262    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396  SubGrpcsubg 14865   LSSumclsm 15195   Abelcabel 15340   LModclmod 15877   LSubSpclss 15935   LVecclvec 16101  LSAtomsclsa 29089    <oLL clcv 29133
This theorem is referenced by:  lshpat  29171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-0g 13654  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-cntz 15043  df-oppg 15069  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-drng 15764  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-lvec 16102  df-lsatoms 29091  df-lshyp 29092  df-lcv 29134
  Copyright terms: Public domain W3C validator