MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lagsubg Unicode version

Theorem lagsubg 14681
Description: Lagrange theorem for Groups: the order of any subgroup of a finite group is a divisor of the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
lagsubg.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
lagsubg  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( # `  X ) )

Proof of Theorem lagsubg
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  X  e.  Fin )
2 pwfi 7153 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
31, 2sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ~P X  e.  Fin )
4 lagsubg.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 eqid 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( G ~QG  Y )  =  ( G ~QG  Y )
64, 5eqger 14669 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  Y
)  Er  X )
76adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
87qsss 6722 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  C_  ~P X
)
9 ssfi 7085 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  C_  ~P X )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin )
103, 8, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin )
11 hashcl 11352 . . . . 5  |-  ( ( X /. ( G ~QG  Y ) )  e.  Fin  ->  ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  NN0 )
1210, 11syl 15 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  NN0 )
1312nn0zd 10117 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  ZZ )
14 id 19 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  X  e.  Fin )
154subgss 14624 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
16 ssfi 7085 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  Fin )
1714, 15, 16syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  Y  e.  Fin )
18 hashcl 11352 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Fin  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
1917, 18syl 15 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  e. 
NN0 )
2019nn0zd 10117 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  e.  ZZ )
21 dvdsmul2 12553 . . 3  |-  ( ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  Y
)  e.  ZZ )  ->  ( # `  Y
)  ||  ( ( # `
 ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `  Y
) ) )
2213, 20, 21syl2anc 642 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `
 Y ) ) )
23 simpl 443 . . 3  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G )
)
244, 5, 23, 1lagsubg2 14680 . 2  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 X )  =  ( ( # `  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  x.  ( # `
 Y ) ) )
2522, 24breqtrrd 4051 1  |-  ( ( Y  e.  (SubGrp `  G )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `
 Y )  ||  ( # `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    C_ wss 3154   ~Pcpw 3627   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    Er wer 6659   /.cqs 6661   Fincfn 6865    x. cmul 8744   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   #chash 11339    || cdivides 12533   Basecbs 13150  SubGrpcsubg 14617   ~QG cqg 14619
This theorem is referenced by:  oddvds2  14881  fislw  14938  sylow3lem4  14943  ablfacrp2  15304  ablfac1c  15308  ablfac1eu  15310
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-ec 6664  df-qs 6668  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-rp 10357  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-sum 12161  df-dvds 12534  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-subg 14620  df-eqg 14622
  Copyright terms: Public domain W3C validator