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Theorem latjass 14128
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 22037 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latjass.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjass  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )

Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2256 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 445 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 latjass.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
51, 4latjcl 14083 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
653adant3r3 1167 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
7 simpr3 968 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
81, 4latjcl 14083 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  e.  B )
93, 6, 7, 8syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  e.  B )
10 simpr1 966 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
111, 4latjcl 14083 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .\/  Z
)  e.  B )
12113adant3r1 1165 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z )  e.  B )
131, 4latjcl 14083 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B )
143, 10, 12, 13syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B
)
151, 2, 4latlej1 14093 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
163, 10, 12, 15syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
17 simpr2 967 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
181, 2, 4latlej1 14093 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( Y 
.\/  Z ) )
19183adant3r1 1165 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( Y  .\/  Z ) )
201, 2, 4latlej2 14094 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
213, 10, 12, 20syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 14091 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
231, 2, 4latjle12 14095 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Y ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1189 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
2516, 22, 24mpbi2and 892 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
261, 2, 4latlej2 14094 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z ( le `  K ) ( Y 
.\/  Z ) )
27263adant3r1 1165 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( Y  .\/  Z ) )
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 14091 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
291, 2, 4latjle12 14095 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) ( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Z ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Z
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
3125, 28, 30mpbi2and 892 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
321, 2, 4latlej1 14093 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
33323adant3r3 1167 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
341, 2, 4latlej1 14093 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
353, 6, 7, 34syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 14091 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
371, 2, 4latlej2 14094 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
38373adant3r3 1167 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 14091 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
401, 2, 4latlej2 14094 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
413, 6, 7, 40syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
421, 2, 4latjle12 14095 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z )  e.  B ) )  ->  ( ( Y ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z )  /\  Z ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )  <->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1189 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  /\  Z ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) )  <-> 
( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
4439, 41, 43mpbi2and 892 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
451, 2, 4latjle12 14095 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z
)  e.  B  /\  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z )  e.  B ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z )  /\  ( Y 
.\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )  <->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  /\  ( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) )  <-> 
( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) ) )
4736, 44, 46mpbi2and 892 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )
)
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 14090 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3963   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075   lecple 13142   joincjn 14005   Latclat 14078
This theorem is referenced by:  latj12  14129  latj32  14130  latj4  14134  latmass  14218  latmassOLD  28549  hlatjass  28689  cvrexchlem  28738  cvrat3  28761  2atmat  28880  4atlem3  28915  4atlem3a  28916  4atlem4a  28918  4atlem4d  28921  4at2  28933  2lplnja  28938  pmapjlln1  29174  dalawlem3  29192  dalawlem12  29201  cdleme30a  29697  trlcolem  30045  cdlemh1  30134  cdlemkid1  30241  doca2N  30446  djajN  30457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-poset 14007  df-lub 14035  df-join 14037  df-lat 14079
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