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Theorem latjass 14203
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 22114 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latjass.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjass  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )

Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2285 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 443 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 latjass.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
51, 4latjcl 14158 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
653adant3r3 1162 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
7 simpr3 963 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
81, 4latjcl 14158 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  e.  B )
93, 6, 7, 8syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  e.  B )
10 simpr1 961 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
111, 4latjcl 14158 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .\/  Z
)  e.  B )
12113adant3r1 1160 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z )  e.  B )
131, 4latjcl 14158 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B )
143, 10, 12, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B
)
151, 2, 4latlej1 14168 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
163, 10, 12, 15syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
17 simpr2 962 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
181, 2, 4latlej1 14168 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( Y 
.\/  Z ) )
19183adant3r1 1160 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( Y  .\/  Z ) )
201, 2, 4latlej2 14169 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
213, 10, 12, 20syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 14166 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
231, 2, 4latjle12 14170 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Y ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
2516, 22, 24mpbi2and 887 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
261, 2, 4latlej2 14169 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z ( le `  K ) ( Y 
.\/  Z ) )
27263adant3r1 1160 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( Y  .\/  Z ) )
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 14166 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
291, 2, 4latjle12 14170 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) ( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Z ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Z
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
3125, 28, 30mpbi2and 887 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
321, 2, 4latlej1 14168 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
33323adant3r3 1162 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
341, 2, 4latlej1 14168 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
353, 6, 7, 34syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 14166 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
371, 2, 4latlej2 14169 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
38373adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 14166 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
401, 2, 4latlej2 14169 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
413, 6, 7, 40syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
421, 2, 4latjle12 14170 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z )  e.  B ) )  ->  ( ( Y ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z )  /\  Z ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )  <->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  /\  Z ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) )  <-> 
( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
4439, 41, 43mpbi2and 887 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
451, 2, 4latjle12 14170 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z
)  e.  B  /\  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z )  e.  B ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z )  /\  ( Y 
.\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )  <->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  /\  ( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) )  <-> 
( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) ) )
4736, 44, 46mpbi2and 887 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )
)
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 14165 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   lecple 13217   joincjn 14080   Latclat 14153
This theorem is referenced by:  latj12  14204  latj32  14205  latj4  14209  latmass  14293  latmassOLD  29492  hlatjass  29632  cvrexchlem  29681  cvrat3  29704  2atmat  29823  4atlem3  29858  4atlem3a  29859  4atlem4a  29861  4atlem4d  29864  4at2  29876  2lplnja  29881  pmapjlln1  30117  dalawlem3  30135  dalawlem12  30144  cdleme30a  30640  trlcolem  30988  cdlemh1  31077  cdlemkid1  31184  doca2N  31389  djajN  31400
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-undef 6300  df-riota 6306  df-poset 14082  df-lub 14110  df-join 14112  df-lat 14154
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