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Theorem latjass 14164
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 22073 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latjass.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjass  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )

Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2258 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 445 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 latjass.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
51, 4latjcl 14119 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
653adant3r3 1167 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
7 simpr3 968 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
81, 4latjcl 14119 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  e.  B )
93, 6, 7, 8syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  e.  B )
10 simpr1 966 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
111, 4latjcl 14119 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .\/  Z
)  e.  B )
12113adant3r1 1165 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z )  e.  B )
131, 4latjcl 14119 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B )
143, 10, 12, 13syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B
)
151, 2, 4latlej1 14129 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
163, 10, 12, 15syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
17 simpr2 967 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
181, 2, 4latlej1 14129 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( Y 
.\/  Z ) )
19183adant3r1 1165 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( Y  .\/  Z ) )
201, 2, 4latlej2 14130 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
213, 10, 12, 20syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 14127 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
231, 2, 4latjle12 14131 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Y ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1189 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
2516, 22, 24mpbi2and 892 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
261, 2, 4latlej2 14130 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z ( le `  K ) ( Y 
.\/  Z ) )
27263adant3r1 1165 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( Y  .\/  Z ) )
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 14127 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
291, 2, 4latjle12 14131 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) ( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Z ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Z
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
3125, 28, 30mpbi2and 892 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
321, 2, 4latlej1 14129 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
33323adant3r3 1167 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
341, 2, 4latlej1 14129 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
353, 6, 7, 34syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 14127 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
371, 2, 4latlej2 14130 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
38373adant3r3 1167 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 14127 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
401, 2, 4latlej2 14130 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
413, 6, 7, 40syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
421, 2, 4latjle12 14131 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z )  e.  B ) )  ->  ( ( Y ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z )  /\  Z ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )  <->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1189 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  /\  Z ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) )  <-> 
( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
4439, 41, 43mpbi2and 892 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
451, 2, 4latjle12 14131 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z
)  e.  B  /\  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z )  e.  B ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z )  /\  ( Y 
.\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )  <->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  /\  ( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) )  <-> 
( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) ) )
4736, 44, 46mpbi2and 892 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )
)
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 14126 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Basecbs 13111   lecple 13178   joincjn 14041   Latclat 14114
This theorem is referenced by:  latj12  14165  latj32  14166  latj4  14170  latmass  14254  latmassOLD  28669  hlatjass  28809  cvrexchlem  28858  cvrat3  28881  2atmat  29000  4atlem3  29035  4atlem3a  29036  4atlem4a  29038  4atlem4d  29041  4at2  29053  2lplnja  29058  pmapjlln1  29294  dalawlem3  29312  dalawlem12  29321  cdleme30a  29817  trlcolem  30165  cdlemh1  30254  cdlemkid1  30361  doca2N  30566  djajN  30577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-poset 14043  df-lub 14071  df-join 14073  df-lat 14115
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