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Theorem latjass 14045
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 21942 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latjass.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjass  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )

Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2253 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 445 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 latjass.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
51, 4latjcl 14000 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
653adant3r3 1167 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
7 simpr3 968 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z  e.  B )
81, 4latjcl 14000 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  e.  B )
93, 6, 7, 8syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  e.  B )
10 simpr1 966 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
111, 4latjcl 14000 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( Y  .\/  Z
)  e.  B )
12113adant3r1 1165 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z )  e.  B )
131, 4latjcl 14000 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B )
143, 10, 12, 13syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B
)
151, 2, 4latlej1 14010 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
163, 10, 12, 15syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
17 simpr2 967 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
181, 2, 4latlej1 14010 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( Y 
.\/  Z ) )
19183adant3r1 1165 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( Y  .\/  Z ) )
201, 2, 4latlej2 14011 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z )  e.  B )  -> 
( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
213, 10, 12, 20syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 14008 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
231, 2, 4latjle12 14012 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  e.  B ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Y ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1189 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) )  /\  Y ( le
`  K ) ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) ) )  <->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
2516, 22, 24mpbi2and 892 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
261, 2, 4latlej2 14011 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z ( le `  K ) ( Y 
.\/  Z ) )
27263adant3r1 1165 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( Y  .\/  Z ) )
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 14008 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
291, 2, 4latjle12 14012 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( X  .\/  ( Y 
.\/  Z ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( X  .\/  Y ) ( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Z ( le `  K ) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) )  /\  Z
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )  <->  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) ( le `  K ) ( X 
.\/  ( Y  .\/  Z ) ) ) )
3125, 28, 30mpbi2and 892 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )
( le `  K
) ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
321, 2, 4latlej1 14010 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
33323adant3r3 1167 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
341, 2, 4latlej1 14010 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
353, 6, 7, 34syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 14008 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  X
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
371, 2, 4latlej2 14011 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
38373adant3r3 1167 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 14008 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Y
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
401, 2, 4latlej2 14011 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
413, 6, 7, 40syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  Z
( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) )
421, 2, 4latjle12 14012 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Y  e.  B  /\  Z  e.  B  /\  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z )  e.  B ) )  ->  ( ( Y ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z )  /\  Z ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )  <->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1189 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( Y ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  /\  Z ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) )  <-> 
( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
4439, 41, 43mpbi2and 892 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( Y  .\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )
451, 2, 4latjle12 14012 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  ( Y  .\/  Z
)  e.  B  /\  ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z )  e.  B ) )  ->  ( ( X ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z )  /\  ( Y 
.\/  Z ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y )  .\/  Z ) )  <->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) ) )
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1189 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  /\  ( Y  .\/  Z
) ( le `  K ) ( ( X  .\/  Y ) 
.\/  Z ) )  <-> 
( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le `  K
) ( ( X 
.\/  Y )  .\/  Z ) ) )
4736, 44, 46mpbi2and 892 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) ( le
`  K ) ( ( X  .\/  Y
)  .\/  Z )
)
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 14007 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .\/  Y
)  .\/  Z )  =  ( X  .\/  ( Y  .\/  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   lecple 13089   joincjn 13922   Latclat 13995
This theorem is referenced by:  latj12  14046  latj32  14047  latj4  14051  latmass  14126  latmassOLD  28220  hlatjass  28360  cvrexchlem  28409  cvrat3  28432  2atmat  28551  4atlem3  28586  4atlem3a  28587  4atlem4a  28589  4atlem4d  28592  4at2  28604  2lplnja  28609  pmapjlln1  28845  dalawlem3  28863  dalawlem12  28872  cdleme30a  29368  trlcolem  29716  cdlemh1  29805  cdlemkid1  29912  doca2N  30117  djajN  30128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-lub 13952  df-join 13954  df-lat 13996
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