MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjcl Unicode version

Theorem latjcl 14152
Description: Closure of join operation in a lattice. (chjcom 22081 analog.) (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjcl.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latjcl.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjcl  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem latjcl
StepHypRef Expression
1 latjcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latjcl.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 eqid 2284 . . 3  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
41, 2, 3latlem 14150 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  ( X ( meet `  K
) Y )  e.  B ) )
54simpld 445 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Basecbs 13144   joincjn 14074   meetcmee 14075   Latclat 14147
This theorem is referenced by:  latjcom  14161  latlej1  14162  latlej2  14163  latjle12  14164  latleeqj1  14165  latjlej1  14167  latjlej12  14169  latnlej2  14173  latjidm  14176  latnle  14187  latabs2  14190  latledi  14191  latmlej11  14192  latjass  14197  latj13  14200  latj31  14201  latj4  14203  mod1ile  14207  mod2ile  14208  lubun  14223  latdisdlem  14288  lubunNEW  28442  oldmm1  28686  olj01  28694  latmassOLD  28698  omllaw5N  28716  cmtcomlemN  28717  cmtbr2N  28722  cmtbr3N  28723  cmtbr4N  28724  lecmtN  28725  omlfh1N  28727  omlfh3N  28728  omlmod1i2N  28729  cvlexchb1  28799  cvlcvr1  28808  hlatjcl  28835  exatleN  28872  cvrval3  28881  cvrexchlem  28887  cvrexch  28888  cvratlem  28889  cvrat  28890  lnnat  28895  cvrat2  28897  atcvrj2b  28900  atltcvr  28903  atlelt  28906  2atlt  28907  atexchcvrN  28908  cvrat3  28910  cvrat4  28911  2atjm  28913  4noncolr3  28921  athgt  28924  3dim0  28925  3dimlem4a  28931  1cvratex  28941  1cvrjat  28943  1cvrat  28944  ps-2  28946  3atlem1  28951  3atlem2  28952  3at  28958  2atm  28995  lplni2  29005  lplnle  29008  2llnmj  29028  2atmat  29029  lplnexllnN  29032  2llnjaN  29034  lvoli3  29045  islvol5  29047  lvoli2  29049  lvolnle3at  29050  3atnelvolN  29054  islvol2aN  29060  4atlem3  29064  4atlem4d  29070  4atlem9  29071  4atlem10a  29072  4atlem10  29074  4atlem11a  29075  4atlem11b  29076  4atlem11  29077  4atlem12a  29078  4atlem12b  29079  4atlem12  29080  4at  29081  lplncvrlvol2  29083  2lplnja  29087  2lplnmj  29090  dalem5  29135  dalem8  29138  dalem-cly  29139  dalem38  29178  dalem39  29179  dalem44  29184  dalem54  29194  linepsubN  29220  pmapsub  29236  isline2  29242  linepmap  29243  isline3  29244  lncvrelatN  29249  2llnma1b  29254  cdlema1N  29259  cdlemblem  29261  cdlemb  29262  paddasslem5  29292  paddasslem12  29299  paddasslem13  29300  pmapjoin  29320  pmapjat1  29321  pmapjlln1  29323  hlmod1i  29324  llnmod1i2  29328  atmod2i1  29329  atmod2i2  29330  llnmod2i2  29331  atmod3i1  29332  atmod3i2  29333  dalawlem2  29340  dalawlem3  29341  dalawlem5  29343  dalawlem6  29344  dalawlem7  29345  dalawlem8  29346  dalawlem11  29349  dalawlem12  29350  pmapocjN  29398  paddatclN  29417  linepsubclN  29419  pl42lem1N  29447  pl42lem2N  29448  pl42N  29451  lhp2lt  29469  lhpj1  29490  lhpmod2i2  29506  lhpmod6i1  29507  4atexlemc  29537  lautj  29561  trlval2  29631  trlcl  29632  trljat1  29634  trljat2  29635  trlle  29652  cdlemc1  29659  cdlemc2  29660  cdlemc5  29663  cdlemd2  29667  cdlemd3  29668  cdleme0aa  29678  cdleme0b  29680  cdleme0c  29681  cdleme0cp  29682  cdleme0cq  29683  cdleme0fN  29686  cdleme1b  29694  cdleme1  29695  cdleme2  29696  cdleme3b  29697  cdleme3c  29698  cdleme4a  29707  cdleme5  29708  cdleme7e  29715  cdleme8  29718  cdleme9  29721  cdleme10  29722  cdleme11fN  29732  cdleme11g  29733  cdleme11k  29736  cdleme11  29738  cdleme15b  29743  cdleme15  29746  cdleme22gb  29762  cdleme19b  29772  cdleme20d  29780  cdleme20j  29786  cdleme20l  29790  cdleme20m  29791  cdleme22e  29812  cdleme22eALTN  29813  cdleme22f  29814  cdleme23b  29818  cdleme23c  29819  cdleme28a  29838  cdleme28b  29839  cdleme29ex  29842  cdleme30a  29846  cdlemefr29exN  29870  cdleme32e  29913  cdleme35fnpq  29917  cdleme35b  29918  cdleme35c  29919  cdleme42e  29947  cdleme42i  29951  cdleme42mgN  29956  cdlemg2fv2  30068  cdlemg7fvbwN  30075  cdlemg4c  30080  cdlemg6c  30088  cdlemg10  30109  cdlemg11b  30110  cdlemg31a  30165  cdlemg31b  30166  cdlemg35  30181  trlcolem  30194  cdlemg44a  30199  trljco  30208  tendopltp  30248  cdlemh1  30283  cdlemh2  30284  cdlemi1  30286  cdlemi  30288  cdlemk4  30302  cdlemkvcl  30310  cdlemk10  30311  cdlemk11  30317  cdlemk11u  30339  cdlemk37  30382  cdlemkid1  30390  cdlemk50  30420  cdlemk51  30421  cdlemk52  30422  dialss  30515  dia2dimlem2  30534  dia2dimlem3  30535  cdlemm10N  30587  docaclN  30593  doca2N  30595  djajN  30606  diblss  30639  cdlemn2  30664  cdlemn10  30675  dihord1  30687  dihord2pre2  30695  dihord5apre  30731  dihjatc1  30780  dihmeetlem10N  30785  dihmeetlem11N  30786  djhljjN  30871  djhj  30873  dihprrnlem1N  30893  dihprrnlem2  30894  dihjat6  30903  dihjat5N  30906  dvh4dimat  30907
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-xp 4694  df-cnv 4696  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fv 5229  df-ov 5823  df-lat 14148
  Copyright terms: Public domain W3C validator