MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjle12 Structured version   Unicode version

Theorem latjle12 14483
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (chlub 23003 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latjle12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )

Proof of Theorem latjle12
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14471 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
433adant3r3 1164 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  B )
5 latpos 14470 . . 3  |-  ( K  e.  Lat  ->  K  e.  Poset )
6 latlej.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2joinle 14442 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)
85, 7syl3an1 1217 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
)  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
94, 8mpd3an3 1280 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   Posetcpo 14389   joincjn 14393   Latclat 14466
This theorem is referenced by:  latleeqj1  14484  latjlej1  14486  latjidm  14495  latledi  14510  latjass  14516  mod1ile  14526  lubun  14542  lubunNEW  29708  oldmm1  29952  olj01  29960  cvlexchb1  30065  cvlcvr1  30074  hlrelat  30136  hlrelat2  30137  exatleN  30138  hlrelat3  30146  cvrexchlem  30153  cvratlem  30155  cvrat  30156  atlelt  30172  ps-1  30211  hlatexch3N  30214  hlatexch4  30215  3atlem1  30217  3atlem2  30218  lplnexllnN  30298  2llnjaN  30300  4atlem3  30330  4atlem10  30340  4atlem11b  30342  4atlem11  30343  4atlem12b  30345  4atlem12  30346  2lplnja  30353  dalem1  30393  dalem3  30398  dalem8  30404  dalem16  30413  dalem17  30414  dalem21  30428  dalem25  30432  dalem39  30445  dalem54  30460  dalem60  30466  linepsubN  30486  pmapsub  30502  lneq2at  30512  2llnma3r  30522  cdlema1N  30525  cdlemblem  30527  paddasslem5  30558  paddasslem12  30565  paddasslem13  30566  llnexchb2  30603  dalawlem3  30607  dalawlem5  30609  dalawlem8  30612  dalawlem11  30615  dalawlem12  30616  lhp2lt  30735  lhpexle2lem  30743  lhpexle3lem  30745  4atexlemtlw  30801  4atexlemnclw  30804  lautj  30827  cdlemd3  30934  cdleme3g  30968  cdleme3h  30969  cdleme7d  30980  cdleme11c  30995  cdleme15d  31011  cdleme17b  31021  cdleme19a  31037  cdleme20j  31052  cdleme21c  31061  cdleme22b  31075  cdleme22d  31077  cdleme28a  31104  cdleme35a  31182  cdleme35fnpq  31183  cdleme35b  31184  cdleme35f  31188  cdleme42c  31206  cdleme42i  31217  cdlemf1  31295  cdlemg4c  31346  cdlemg6c  31354  cdlemg8b  31362  cdlemg10  31375  cdlemg11b  31376  cdlemg13a  31385  cdlemg17a  31395  cdlemg18b  31413  cdlemg27a  31426  cdlemg33b0  31435  cdlemg35  31447  cdlemg42  31463  cdlemg46  31469  trljco  31474  tendopltp  31514  cdlemk3  31567  cdlemk10  31577  cdlemk1u  31593  cdlemk39  31650  dialss  31781  dia2dimlem1  31799  dia2dimlem10  31808  dia2dimlem12  31810  cdlemm10N  31853  djajN  31872  diblss  31905  cdlemn2  31930  dihord2pre2  31961  dib2dim  31978  dih2dimb  31979  dih2dimbALTN  31980  dihmeetlem6  32044  dihjatcclem1  32153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-join 14425  df-lat 14467
  Copyright terms: Public domain W3C validator