MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej2 Structured version   Unicode version

Theorem latlej2 14482
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 23002 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14471 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
4 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lejoin2 14441 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
63, 5mpdan 650 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   joincjn 14393   Latclat 14466
This theorem is referenced by:  latleeqj1  14484  latjlej1  14486  latnlej  14489  latnlej2  14492  latjass  14516  lubun  14542  lubunNEW  29708  oldmm1  29952  cmtcomlemN  29983  cmtbr4N  29990  cvlexchb1  30065  cvlatexch1  30071  cvrval5  30149  2llnjaN  30300  4atlem3b  30332  2lplnja  30353  dalem5  30401  dalem17  30414  dalem39  30445  dalem43  30449  elpaddn0  30534  pmapjoin  30586  dalawlem2  30606  dalawlem11  30615  dalawlem12  30616  lautj  30827  trljat2  30901  cdleme0cq  30949  cdleme1  30961  cdleme3  30971  cdleme5  30974  cdleme7ga  30982  cdleme10  30988  cdleme15b  31009  cdleme16b  31013  cdleme20k  31053  cdleme22e  31078  cdleme22eALTN  31079  cdleme23c  31085  cdleme28a  31104  cdleme32e  31179  cdleme35a  31182  cdlemg4c  31346  cdlemg6c  31354  trlcolem  31460  cdlemi1  31552  dia2dimlem2  31800  cdlemm10N  31853  dihord2pre2  31961  dihord5apre  31997  dihjatc1  32046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-lub 14423  df-join 14425  df-lat 14467
  Copyright terms: Public domain W3C validator