MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latlej2 Unicode version

Theorem latlej2 14169
Description: A join's second argument is less than or equal to the join. (chub2 22089 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latlej.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latlej.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
latlej2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )

Proof of Theorem latlej2
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latlej.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
31, 2latjcl 14158 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  B )
4 latlej.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lejoin2 14128 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   lecple 13217   joincjn 14080   Latclat 14153
This theorem is referenced by:  latleeqj1  14171  latjlej1  14173  latnlej  14176  latnlej2  14179  latjass  14203  lubun  14229  lubunNEW  29236  oldmm1  29480  cmtcomlemN  29511  cmtbr4N  29518  cvlexchb1  29593  cvlatexch1  29599  cvrval5  29677  2llnjaN  29828  4atlem3b  29860  2lplnja  29881  dalem5  29929  dalem17  29942  dalem39  29973  dalem43  29977  elpaddn0  30062  pmapjoin  30114  dalawlem2  30134  dalawlem11  30143  dalawlem12  30144  lautj  30355  trljat2  30429  cdleme0cq  30477  cdleme1  30489  cdleme3  30499  cdleme5  30502  cdleme7ga  30510  cdleme10  30516  cdleme15b  30537  cdleme16b  30541  cdleme20k  30581  cdleme22e  30606  cdleme22eALTN  30607  cdleme23c  30613  cdleme28a  30632  cdleme32e  30707  cdleme35a  30710  cdlemg4c  30874  cdlemg6c  30882  trlcolem  30988  cdlemi1  31080  dia2dimlem2  31328  cdlemm10N  31381  dihord2pre2  31489  dihord5apre  31525  dihjatc1  31574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-undef 6300  df-riota 6306  df-lub 14110  df-join 14112  df-lat 14154
  Copyright terms: Public domain W3C validator