MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmass Unicode version

Theorem latmass 14218
Description: Lattice meet is associative. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
latmass.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmass.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmass  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  ./\  Z )  =  ( X  ./\  ( Y  ./\  Z ) ) )

Proof of Theorem latmass
StepHypRef Expression
1 eqid 2256 . . 3  |-  (ODual `  K )  =  (ODual `  K )
21odulat 14176 . 2  |-  ( K  e.  Lat  ->  (ODual `  K )  e.  Lat )
3 latmass.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
41, 3odubas 14164 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (ODual `  K ) )
5 latmass.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
61, 5odujoin 14173 . . 3  |-  ./\  =  ( join `  (ODual `  K
) )
74, 6latjass 14128 . 2  |-  ( ( (ODual `  K )  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  Y )  ./\  Z )  =  ( X  ./\  ( Y  ./\  Z ) ) )
82, 7sylan 459 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
)  ./\  Z )  =  ( X  ./\  ( Y  ./\  Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Basecbs 13075   meetcmee 14006   Latclat 14078  ODualcodu 14159
This theorem is referenced by:  latdisdlem  14219
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-7 9742  df-8 9743  df-9 9744  df-10 9745  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ple 13155  df-poset 14007  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-lat 14079  df-odu 14160
  Copyright terms: Public domain W3C validator