MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle1 Unicode version

Theorem latmle1 14184
Description: A meet is less than or equal to its first argument. (inss1 3391 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )

Proof of Theorem latmle1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14159 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet1 14134 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   lecple 13217   meetcmee 14081   Latclat 14153
This theorem is referenced by:  latleeqm1  14187  latmlem1  14189  latnlemlt  14192  latmidm  14194  latabs1  14195  latledi  14197  latmlej11  14198  oldmm1  29480  cmtbr3N  29517  cmtbr4N  29518  lecmtN  29519  cvrat4  29705  2llnmat  29786  llnmlplnN  29801  dalem3  29926  dalem27  29961  dalem54  29988  dalem55  29989  2lnat  30046  cdlema1N  30053  llnexchb2lem  30130  dalawlem1  30133  dalawlem6  30138  dalawlem11  30143  dalawlem12  30144  4atexlemunv  30328  4atexlemc  30331  4atexlemnclw  30332  4atexlemex2  30333  4atexlemcnd  30334  lautm  30356  trlval3  30449  cdlemeulpq  30482  cdleme3h  30497  cdleme4a  30501  cdleme9  30515  cdleme11g  30527  cdleme13  30534  cdleme16e  30544  cdlemednpq  30561  cdleme19b  30566  cdleme20e  30575  cdleme20j  30580  cdleme22cN  30604  cdleme22e  30606  cdleme22eALTN  30607  cdleme22g  30610  cdleme35b  30712  cdleme35f  30716  cdlemeg46vrg  30789  cdlemg11b  30904  cdlemg12f  30910  cdlemg19a  30945  cdlemg31a  30959  cdlemk12  31112  cdlemkole  31115  cdlemk12u  31134  cdlemk37  31176  dia2dimlem1  31327  dihopelvalcpre  31511  dihmeetlem1N  31553  dihglblem5apreN  31554  dihglblem2N  31557  dihmeetlem2N  31562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-undef 6300  df-riota 6306  df-glb 14111  df-meet 14113  df-lat 14154
  Copyright terms: Public domain W3C validator