MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle1 Unicode version

Theorem latmle1 14392
Description: A meet is less than or equal to its first argument. (inss1 3477 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )

Proof of Theorem latmle1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14367 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet1 14342 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   lecple 13423   meetcmee 14289   Latclat 14361
This theorem is referenced by:  latleeqm1  14395  latmlem1  14397  latnlemlt  14400  latmidm  14402  latabs1  14403  latledi  14405  latmlej11  14406  oldmm1  29478  cmtbr3N  29515  cmtbr4N  29516  lecmtN  29517  cvrat4  29703  2llnmat  29784  llnmlplnN  29799  dalem3  29924  dalem27  29959  dalem54  29986  dalem55  29987  2lnat  30044  cdlema1N  30051  llnexchb2lem  30128  dalawlem1  30131  dalawlem6  30136  dalawlem11  30141  dalawlem12  30142  4atexlemunv  30326  4atexlemc  30329  4atexlemnclw  30330  4atexlemex2  30331  4atexlemcnd  30332  lautm  30354  trlval3  30447  cdlemeulpq  30480  cdleme3h  30495  cdleme4a  30499  cdleme9  30513  cdleme11g  30525  cdleme13  30532  cdleme16e  30542  cdlemednpq  30559  cdleme19b  30564  cdleme20e  30573  cdleme20j  30578  cdleme22cN  30602  cdleme22e  30604  cdleme22eALTN  30605  cdleme22g  30608  cdleme35b  30710  cdleme35f  30714  cdlemeg46vrg  30787  cdlemg11b  30902  cdlemg12f  30908  cdlemg19a  30943  cdlemg31a  30957  cdlemk12  31110  cdlemkole  31113  cdlemk12u  31132  cdlemk37  31174  dia2dimlem1  31325  dihopelvalcpre  31509  dihmeetlem1N  31551  dihglblem5apreN  31552  dihglblem2N  31555  dihmeetlem2N  31560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-undef 6440  df-riota 6446  df-glb 14319  df-meet 14321  df-lat 14362
  Copyright terms: Public domain W3C validator