MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle1 Unicode version

Theorem latmle1 14178
Description: A meet is less than or equal to its first argument. (inss1 3390 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )

Proof of Theorem latmle1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14153 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet1 14128 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Basecbs 13144   lecple 13211   meetcmee 14075   Latclat 14147
This theorem is referenced by:  latleeqm1  14181  latmlem1  14183  latnlemlt  14186  latmidm  14188  latabs1  14189  latledi  14191  latmlej11  14192  oldmm1  28686  cmtbr3N  28723  cmtbr4N  28724  lecmtN  28725  cvrat4  28911  2llnmat  28992  llnmlplnN  29007  dalem3  29132  dalem27  29167  dalem54  29194  dalem55  29195  2lnat  29252  cdlema1N  29259  llnexchb2lem  29336  dalawlem1  29339  dalawlem6  29344  dalawlem11  29349  dalawlem12  29350  4atexlemunv  29534  4atexlemc  29537  4atexlemnclw  29538  4atexlemex2  29539  4atexlemcnd  29540  lautm  29562  trlval3  29655  cdlemeulpq  29688  cdleme3h  29703  cdleme4a  29707  cdleme9  29721  cdleme11g  29733  cdleme13  29740  cdleme16e  29750  cdlemednpq  29767  cdleme19b  29772  cdleme20e  29781  cdleme20j  29786  cdleme22cN  29810  cdleme22e  29812  cdleme22eALTN  29813  cdleme22g  29816  cdleme35b  29918  cdleme35f  29922  cdlemeg46vrg  29995  cdlemg11b  30110  cdlemg12f  30116  cdlemg19a  30151  cdlemg31a  30165  cdlemk12  30318  cdlemkole  30321  cdlemk12u  30340  cdlemk37  30382  dia2dimlem1  30533  dihopelvalcpre  30717  dihmeetlem1N  30759  dihglblem5apreN  30760  dihglblem2N  30763  dihmeetlem2N  30768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-glb 14105  df-meet 14107  df-lat 14148
  Copyright terms: Public domain W3C validator