MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle1 Structured version   Unicode version

Theorem latmle1 14507
Description: A meet is less than or equal to its first argument. (inss1 3563 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )

Proof of Theorem latmle1
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14482 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet1 14457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
63, 5mpdan 651 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   lecple 13538   meetcmee 14404   Latclat 14476
This theorem is referenced by:  latleeqm1  14510  latmlem1  14512  latnlemlt  14515  latmidm  14517  latabs1  14518  latledi  14520  latmlej11  14521  oldmm1  30077  cmtbr3N  30114  cmtbr4N  30115  lecmtN  30116  cvrat4  30302  2llnmat  30383  llnmlplnN  30398  dalem3  30523  dalem27  30558  dalem54  30585  dalem55  30586  2lnat  30643  cdlema1N  30650  llnexchb2lem  30727  dalawlem1  30730  dalawlem6  30735  dalawlem11  30740  dalawlem12  30741  4atexlemunv  30925  4atexlemc  30928  4atexlemnclw  30929  4atexlemex2  30930  4atexlemcnd  30931  lautm  30953  trlval3  31046  cdlemeulpq  31079  cdleme3h  31094  cdleme4a  31098  cdleme9  31112  cdleme11g  31124  cdleme13  31131  cdleme16e  31141  cdlemednpq  31158  cdleme19b  31163  cdleme20e  31172  cdleme20j  31177  cdleme22cN  31201  cdleme22e  31203  cdleme22eALTN  31204  cdleme22g  31207  cdleme35b  31309  cdleme35f  31313  cdlemeg46vrg  31386  cdlemg11b  31501  cdlemg12f  31507  cdlemg19a  31542  cdlemg31a  31556  cdlemk12  31709  cdlemkole  31712  cdlemk12u  31731  cdlemk37  31773  dia2dimlem1  31924  dihopelvalcpre  32108  dihmeetlem1N  32150  dihglblem5apreN  32151  dihglblem2N  32154  dihmeetlem2N  32159
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-glb 14434  df-meet 14436  df-lat 14477
  Copyright terms: Public domain W3C validator