MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle2 Structured version   Unicode version

Theorem latmle2 14498
Description: A meet is less than or equal to its second argument. (inss2 3554 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )

Proof of Theorem latmle2
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14472 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet2 14448 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
63, 5mpdan 650 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   meetcmee 14394   Latclat 14466
This theorem is referenced by:  latmlem1  14502  latledi  14510  mod1ile  14526  oldmm1  29952  olm01  29971  cmtcomlemN  29983  cmtbr4N  29990  meetat  30031  cvrexchlem  30153  cvrat4  30177  2llnmj  30294  2lplnmj  30356  dalem25  30432  dalem54  30460  dalem57  30463  cdlema1N  30525  cdlemb  30528  llnexchb2lem  30602  llnexch2N  30604  dalawlem1  30605  dalawlem3  30607  pl42lem1N  30713  lhpelim  30771  lhpat3  30780  4atexlemunv  30800  4atexlemtlw  30801  4atexlemnclw  30804  4atexlemex2  30805  lautm  30828  trlle  30918  cdlemc2  30926  cdlemc5  30929  cdlemd2  30933  cdleme0b  30946  cdleme0c  30947  cdleme0fN  30952  cdleme01N  30955  cdleme0ex1N  30957  cdleme2  30962  cdleme3b  30963  cdleme3c  30964  cdleme3g  30968  cdleme3h  30969  cdleme7aa  30976  cdleme7c  30979  cdleme7d  30980  cdleme7e  30981  cdleme7ga  30982  cdleme11fN  30998  cdleme11k  31002  cdleme15d  31011  cdleme16f  31017  cdlemednpq  31033  cdleme19c  31039  cdleme20aN  31043  cdleme20c  31045  cdleme20j  31052  cdleme21c  31061  cdleme21ct  31063  cdleme22cN  31076  cdleme22f  31080  cdleme23a  31083  cdleme28a  31104  cdleme35d  31186  cdleme35f  31188  cdlemeg46frv  31259  cdlemeg46rgv  31262  cdlemeg46req  31263  cdlemg2fv2  31334  cdlemg2m  31338  cdlemg4  31351  cdlemg10bALTN  31370  cdlemg31b  31432  trlcolem  31460  cdlemk14  31588  dia2dimlem1  31799  docaclN  31859  doca2N  31861  djajN  31872  dihjustlem  31951  dihord1  31953  dihord2a  31954  dihord2b  31955  dihord2cN  31956  dihord11b  31957  dihord11c  31959  dihord2pre  31960  dihlsscpre  31969  dihvalcq2  31982  dihopelvalcpre  31983  dihord6apre  31991  dihord5b  31994  dihord5apre  31997  dihmeetlem1N  32025  dihglblem5apreN  32026  dihglblem3N  32030  dihmeetbclemN  32039  dihmeetlem4preN  32041  dihmeetlem7N  32045  dihmeetlem9N  32050  dihjatcclem4  32156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-glb 14424  df-meet 14426  df-lat 14467
  Copyright terms: Public domain W3C validator