MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle2 Unicode version

Theorem latmle2 14199
Description: A meet is less than or equal to its second argument. (inss2 3403 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )

Proof of Theorem latmle2
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14173 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet2 14149 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
63, 5mpdan 649 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   meetcmee 14095   Latclat 14167
This theorem is referenced by:  latmlem1  14203  latledi  14211  mod1ile  14227  oldmm1  30029  olm01  30048  cmtcomlemN  30060  cmtbr4N  30067  meetat  30108  cvrexchlem  30230  cvrat4  30254  2llnmj  30371  2lplnmj  30433  dalem25  30509  dalem54  30537  dalem57  30540  cdlema1N  30602  cdlemb  30605  llnexchb2lem  30679  llnexch2N  30681  dalawlem1  30682  dalawlem3  30684  pl42lem1N  30790  lhpelim  30848  lhpat3  30857  4atexlemunv  30877  4atexlemtlw  30878  4atexlemnclw  30881  4atexlemex2  30882  lautm  30905  trlle  30995  cdlemc2  31003  cdlemc5  31006  cdlemd2  31010  cdleme0b  31023  cdleme0c  31024  cdleme0fN  31029  cdleme01N  31032  cdleme0ex1N  31034  cdleme2  31039  cdleme3b  31040  cdleme3c  31041  cdleme3g  31045  cdleme3h  31046  cdleme7aa  31053  cdleme7c  31056  cdleme7d  31057  cdleme7e  31058  cdleme7ga  31059  cdleme11fN  31075  cdleme11k  31079  cdleme15d  31088  cdleme16f  31094  cdlemednpq  31110  cdleme19c  31116  cdleme20aN  31120  cdleme20c  31122  cdleme20j  31129  cdleme21c  31138  cdleme21ct  31140  cdleme22cN  31153  cdleme22f  31157  cdleme23a  31160  cdleme28a  31181  cdleme35d  31263  cdleme35f  31265  cdlemeg46frv  31336  cdlemeg46rgv  31339  cdlemeg46req  31340  cdlemg2fv2  31411  cdlemg2m  31415  cdlemg4  31428  cdlemg10bALTN  31447  cdlemg31b  31509  trlcolem  31537  cdlemk14  31665  dia2dimlem1  31876  docaclN  31936  doca2N  31938  djajN  31949  dihjustlem  32028  dihord1  32030  dihord2a  32031  dihord2b  32032  dihord2cN  32033  dihord11b  32034  dihord11c  32036  dihord2pre  32037  dihlsscpre  32046  dihvalcq2  32059  dihopelvalcpre  32060  dihord6apre  32068  dihord5b  32071  dihord5apre  32074  dihmeetlem1N  32102  dihglblem5apreN  32103  dihglblem3N  32107  dihmeetbclemN  32116  dihmeetlem4preN  32118  dihmeetlem7N  32122  dihmeetlem9N  32127  dihjatcclem4  32233
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-glb 14125  df-meet 14127  df-lat 14168
  Copyright terms: Public domain W3C validator