MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmle2 Unicode version

Theorem latmle2 14434
Description: A meet is less than or equal to its second argument. (inss2 3506 analog.) (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmle.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
latmle.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
latmle.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
latmle2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )

Proof of Theorem latmle2
StepHypRef Expression
1 latmle.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 latmle.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
31, 2latmcl 14408 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
4 latmle.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lemeet2 14384 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
63, 5mpdan 650 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  .<_  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   lecple 13464   meetcmee 14330   Latclat 14402
This theorem is referenced by:  latmlem1  14438  latledi  14446  mod1ile  14462  oldmm1  29333  olm01  29352  cmtcomlemN  29364  cmtbr4N  29371  meetat  29412  cvrexchlem  29534  cvrat4  29558  2llnmj  29675  2lplnmj  29737  dalem25  29813  dalem54  29841  dalem57  29844  cdlema1N  29906  cdlemb  29909  llnexchb2lem  29983  llnexch2N  29985  dalawlem1  29986  dalawlem3  29988  pl42lem1N  30094  lhpelim  30152  lhpat3  30161  4atexlemunv  30181  4atexlemtlw  30182  4atexlemnclw  30185  4atexlemex2  30186  lautm  30209  trlle  30299  cdlemc2  30307  cdlemc5  30310  cdlemd2  30314  cdleme0b  30327  cdleme0c  30328  cdleme0fN  30333  cdleme01N  30336  cdleme0ex1N  30338  cdleme2  30343  cdleme3b  30344  cdleme3c  30345  cdleme3g  30349  cdleme3h  30350  cdleme7aa  30357  cdleme7c  30360  cdleme7d  30361  cdleme7e  30362  cdleme7ga  30363  cdleme11fN  30379  cdleme11k  30383  cdleme15d  30392  cdleme16f  30398  cdlemednpq  30414  cdleme19c  30420  cdleme20aN  30424  cdleme20c  30426  cdleme20j  30433  cdleme21c  30442  cdleme21ct  30444  cdleme22cN  30457  cdleme22f  30461  cdleme23a  30464  cdleme28a  30485  cdleme35d  30567  cdleme35f  30569  cdlemeg46frv  30640  cdlemeg46rgv  30643  cdlemeg46req  30644  cdlemg2fv2  30715  cdlemg2m  30719  cdlemg4  30732  cdlemg10bALTN  30751  cdlemg31b  30813  trlcolem  30841  cdlemk14  30969  dia2dimlem1  31180  docaclN  31240  doca2N  31242  djajN  31253  dihjustlem  31332  dihord1  31334  dihord2a  31335  dihord2b  31336  dihord2cN  31337  dihord11b  31338  dihord11c  31340  dihord2pre  31341  dihlsscpre  31350  dihvalcq2  31363  dihopelvalcpre  31364  dihord6apre  31372  dihord5b  31375  dihord5apre  31378  dihmeetlem1N  31406  dihglblem5apreN  31407  dihglblem3N  31411  dihmeetbclemN  31420  dihmeetlem4preN  31422  dihmeetlem7N  31426  dihmeetlem9N  31431  dihjatcclem4  31537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-undef 6480  df-riota 6486  df-glb 14360  df-meet 14362  df-lat 14403
  Copyright terms: Public domain W3C validator