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Theorem lautm 30576
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautm.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lautm.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
lautm.i  |-  I  =  ( LAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
lautm  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )

Proof of Theorem lautm
StepHypRef Expression
1 lautm.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2404 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 simpl 444 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpr1 963 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F  e.  I )
53, 4jca 519 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I ) )
6 lautm.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
71, 6latmcl 14435 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
873adant3r1 1162 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
9 lautm.i . . . 4  |-  I  =  ( LAut `  K
)
101, 9lautcl 30569 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  ->  ( F `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B )
115, 8, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  e.  B )
12 simpr2 964 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  X  e.  B )
131, 9lautcl 30569 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
145, 12, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  X )  e.  B )
15 simpr3 965 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  Y  e.  B )
161, 9lautcl 30569 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  Y  e.  B
)  ->  ( F `  Y )  e.  B
)
175, 15, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  Y )  e.  B )
181, 6latmcl 14435 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) )  e.  B )
193, 14, 17, 18syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) )  e.  B )
201, 2, 6latmle1 14460 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
21203adant3r1 1162 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
221, 2, 9lautle 30566 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  X ) ) )
235, 8, 12, 22syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  X ) ) )
2421, 23mpbid 202 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
251, 2, 6latmle2 14461 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
26253adant3r1 1162 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
271, 2, 9lautle 30566 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( X 
./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  Y ) ) )
285, 8, 15, 27syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( F `  Y ) ) )
2926, 28mpbid 202 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
301, 2, 6latlem12 14462 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( F `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ( le
`  K ) ( F `  X )  /\  ( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 Y ) )  <-> 
( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K
) ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ) )
313, 11, 14, 17, 30syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 X )  /\  ( F `  ( X 
./\  Y ) ) ( le `  K
) ( F `  Y ) )  <->  ( F `  ( X  ./\  Y
) ) ( le
`  K ) ( ( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ) )
3224, 29, 31mpbi2and 888 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) ) ( le `  K ) ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )
331, 9laut1o 30567 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
34333ad2antr1 1122 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  F : B -1-1-onto-> B )
35 f1ocnvfv2 5974 . . . 4  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) )  =  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )
3634, 19, 35syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) )  =  ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) )
371, 2, 6latmle1 14460 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
383, 14, 17, 37syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  X
) )
391, 2, 9lautcnvle 30571 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) )  e.  B  /\  ( F `
 X )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 X )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  X ) ) ) )
405, 19, 14, 39syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ( le `  K ) ( F `
 X )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  X ) ) ) )
4138, 40mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( `' F `  ( F `  X
) ) )
42 f1ocnvfv1 5973 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  X  e.  B )  ->  ( `' F `  ( F `  X ) )  =  X )
4334, 12, 42syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 X ) )  =  X )
4441, 43breqtrd 4196 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) X )
451, 2, 6latmle2 14461 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  X )  e.  B  /\  ( F `  Y )  e.  B )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
463, 14, 17, 45syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  Y
) )
471, 2, 9lautcnvle 30571 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) )  e.  B  /\  ( F `
 Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( F `
 X )  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  Y ) ) ) )
485, 19, 17, 47syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ( le `  K ) ( F `
 Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( `' F `  ( F `  Y ) ) ) )
4946, 48mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( `' F `  ( F `  Y
) ) )
50 f1ocnvfv1 5973 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  Y  e.  B )  ->  ( `' F `  ( F `  Y ) )  =  Y )
5134, 15, 50syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 Y ) )  =  Y )
5249, 51breqtrd 4196 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) Y )
53 f1ocnvdm 5977 . . . . . . 7  |-  ( ( F : B -1-1-onto-> B  /\  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
)  e.  B )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )  e.  B
)
5434, 19, 53syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )  e.  B )
551, 2, 6latlem12 14462 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) X  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
563, 54, 12, 15, 55syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) X  /\  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )  <->  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
5744, 52, 56mpbi2and 888 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ( le `  K
) ( X  ./\  Y ) )
581, 2, 9lautle 30566 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  I )  /\  ( ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) )  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ) )
595, 54, 8, 58syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X ) 
./\  ( F `  Y ) ) ) ) ( le `  K ) ( F `
 ( X  ./\  Y ) ) ) )
6057, 59mpbid 202 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( `' F `  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y
) ) ) ) ( le `  K
) ( F `  ( X  ./\  Y ) ) )
6136, 60eqbrtrrd 4194 . 2  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( F `  X
)  ./\  ( F `  Y ) ) ( le `  K ) ( F `  ( X  ./\  Y ) ) )
621, 2, 3, 11, 19, 32, 61latasymd 14441 1  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  I  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( F `  ( X  ./\ 
Y ) )  =  ( ( F `  X )  ./\  ( F `  Y )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   lecple 13491   meetcmee 14357   Latclat 14429   LAutclaut 30467
This theorem is referenced by:  ltrnm  30613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-glb 14387  df-meet 14389  df-lat 14430  df-laut 30471
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